L'aire du disque et des figures composées

L'aire du disque

L'aire d'un disque de rayon $r$ se calcule avec la formule :

A = \pi \times r^2

Avec $\pi \approx 3{,}14$ .

Exemple

Un disque a un rayon $r = 4$ cm.

A = \pi \times r^2 \approx 3{,}14 \times 4^2 = 3{,}14 \times 16 \approx 50{,}24 \text{ cm}^2

Les figures composées

Une figure composée est formée de plusieurs figures usuelles assemblées (ou découpées). Pour calculer son aire :

1. On décompose la figure en formes simples (carrés, rectangles, triangles, disques...).
2. On calcule l'aire de chaque forme simple.
3. On additionne (figures juxtaposées) ou on soustrait (figure découpée dans une autre) les aires.

Exemple

Un terrain est un rectangle de $10$ m $\times$ $6$ m duquel on retire un carré de $2$ m de côté (un bassin).

A_{rectangle} = 10 \times 6 = 60 \text{ m}^2 \qquad A_{carré} = 2 \times 2 = 4 \text{ m}^2

A_{terrain} = 60 - 4 = \boxed{56 \text{ m}^2}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est l'aire d'un disque de rayon $2$ cm ? (Utilise $\pi \approx 3{,}14$ .)

Corrigé

$A = \pi \times r^2 \approx 3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ cm².

Exercice 2

Vrai ou faux : l'aire d'un disque dépend du diamètre directement par la formule $A = \pi \times d^2$ .

Corrigé

Faux : la formule utilise le rayon, $A = \pi \times r^2$ , où $r = d/2$ .

Exercice 3

Une figure est un carré de $8$ cm de côté duquel on retire un triangle de base $4$ cm et de hauteur $3$ cm. Quelle est l'aire restante ?

Corrigé

$A_{carré} = 8^2 = 64$ cm². $A_{triangle} = \dfrac{4\times3}{2}=6$ cm². $A_{restante} = 64 - 6 = 58$ cm².

Exercice 4

Calcule l'aire approximative d'un disque de rayon $10$ m.

Corrigé

On applique $A = \pi r^2$ avec $r = 10$ m.

Exercice 5

Une pelouse circulaire de rayon $6$ m contient une fontaine carrée de $2$ m de côté en son centre. Quelle est l'aire de la pelouse (sans la fontaine) ? Donne le résultat au cm² près.

Corrigé

On calcule l'aire totale du disque, puis on soustrait l'aire de la zone retirée (la fontaine).

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