Patrons et perspective du prisme et du cylindre

Introduction

Avant de calculer le volume d'un solide, il faut savoir le représenter et reconnaître comment il est construit. On utilise pour cela le vocabulaire des solides, la perspective cavalière (pour le dessiner en 3D sur une feuille) et le patron (pour le construire à plat).

Vocabulaire des solides

- Une face est une surface plane (ou courbe pour le cylindre) qui délimite le solide.
- Une arête est le segment où se rencontrent deux faces planes.
- Un sommet est le point où se rencontrent plusieurs arêtes.
- Les bases d'un prisme ou d'un cylindre sont ses deux faces parallèles et superposables (identiques).

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La perspective cavalière

La perspective cavalière est une façon de dessiner un solide en 3 dimensions sur une feuille plane (en 2D), en respectant des règles précises :
- les faces vues de face sont dessinées en vraie grandeur ;
- les arêtes "qui partent vers l'arrière" sont tracées obliques (souvent à $45°$) et réduites ;
- les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

📌 Méthode — Reconnaître un patron valide

1. Compter les faces du patron : il doit y avoir exactement le même nombre de faces que le solide (par exemple 5 pour un prisme à base triangulaire : 2 triangles + 3 rectangles).

2. Vérifier que les faces qui doivent se rejoindre (par pliage) ont bien la même longueur de bord commun.

3. Imaginer le pliage mentalement : les faces ne doivent ni se chevaucher, ni laisser de trou une fois repliées.

Le patron du prisme droit

Le patron d'un prisme droit est composé de :
- 2 bases identiques (le polygone de base, par exemple un triangle ou un rectangle) ;
- autant de rectangles latéraux que de côtés a la base, chaque rectangle ayant pour largeur la hauteur du prisme.

Le patron du cylindre de révolution

Le patron d'un cylindre est composé de :
- 2 disques identiques (les bases) ;
- 1 rectangle pour la surface latérale, dont la largeur est la hauteur $h$ du cylindre et dont la longueur est égale au périmètre du disque, soit $2\pi r$.

⚠️ Attention : la longueur du rectangle latéral doit être exactement égale à la circonférence du disque ($2\pi r$), sinon le patron ne se referme pas correctement autour du cylindre.

Exemples

✅ Exemple simple — Compter les faces d'un patron

Un patron comporte 2 triangles identiques et 3 rectangles. Quel solide peut-on construire ?

On compte $2 + 3 = 5$ faces : 2 bases triangulaires et 3 faces latérales rectangulaires. C'est le patron d'un prisme droit à base triangulaire.

📘 Exemple intermédiaire — Vérifier un patron de cylindre

Un disque a un rayon $r = 2$ cm. Le rectangle latéral du patron doit-il avoir une longueur de $10$ cm ou de $12{,}56$ cm ?

La longueur du rectangle doit être égale au périmètre du disque : $2\pi r \approx 2 \times 3{,}14 \times 2 = 12{,}56$ cm. C'est donc la longueur $12{,}56$ cm qu'il faut choisir.

🔴 Exemple avancé — Reconnaître un patron parmi plusieurs propositions

On propose trois patrons pour un prisme droit à base rectangulaire (un pavé droit) :
- Patron 1 : 6 rectangles, assemblés de sorte qu'en pliant, chaque paire de rectangles opposés se superpose sans trou ni chevauchement.
- Patron 2 : 5 rectangles et 1 triangle.
- Patron 3 : 6 rectangles mais deux d'entre eux ont des longueurs de bords communs différentes (le pliage laisse un trou).

Seul le patron 1 est valide : il a le bon nombre de faces (6 rectangles, comme un pavé droit) et toutes les arêtes communes ont la même longueur, donc le pliage referme parfaitement le solide.

À retenir

- Face, arête, sommet : vocabulaire de base pour décrire un solide.
- En perspective cavalière, les faces de face sont en vraie grandeur, les arêtes vers l'arrière sont obliques et réduites, les arêtes cachées sont en pointillés.
- Le patron d'un prisme droit = 2 bases identiques + autant de rectangles latéraux que de côtés.
- Le patron d'un cylindre = 2 disques identiques + 1 rectangle dont la longueur vaut $2\pi r$ (le périmètre du disque).
- Pour valider un patron : bon nombre de faces, et bords communs de même longueur.