Anneaux et idéaux

Quelles sont les deux lois requises pour définir un anneau $(A,+,\times)$ ?

Un anneau requiert que $(A,+)$ soit un groupe abélien, et que $\times$ soit associative et distributive par rapport à $+$. La commutativité de $\times$ et l'inversibilité ne sont pas exigées en général (sauf pour les corps).

Vrai ou faux : $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +, \times)$ est un anneau commutatif.

Faux. C'est bien un anneau (unitaire, de neutre $I_2$ pour $\times$), mais la multiplication matricielle n'est pas commutative en général : $AB \neq BA$ pour des matrices quelconques.

Dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, donner un exemple de diviseur de zéro.

$\overline{2}$ (ou $\overline{3}$, ou $\overline{4}$) convient : $\overline{2} \times \overline{3} = \overline{6} = \overline{0}$ alors que $\overline{2} \neq \overline{0}$ et $\overline{3} \neq \overline{0}$. Ce sont des diviseurs de zéro car $6 = 2\times3$ n'est pas premier.

Vrai ou faux : tout idéal d'un anneau $A$ est, en particulier, un sous-groupe de $(A,+)$.

Vrai, c'est la première condition de la définition d'un idéal. La seconde condition (absorption : $aI\subset I$ pour tout $a\in A$) est ce qui distingue un idéal d'un simple sous-groupe additif.

Quel est l'idéal principal $(3)$ engendré par $3$ dans $\mathbb{Z}$ ?

Par définition, $(3) = 3\mathbb{Z} = \{3k : k \in \mathbb{Z}\}$, c'est-à-dire l'ensemble de tous les multiples de $3$.

Montrer que dans un anneau intègre $A$, on peut « simplifier » : si $a\neq 0$ et $ab = ac$, alors $b=c$.

De $ab=ac$, on tire $ab-ac=0$, soit (par distributivité) $a(b-c)=0$. Comme $A$ est intègre et que $a \neq 0$, l'absence de diviseurs de zéro impose $b-c=0$, c'est-à-dire $b=c$. Remarque : cette « règle de simplification » est fausse dans un anneau non intègre, par exemple dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ : $\overline{2}\times\overline{1} = \overline{2}\times\overline{4} = \overline{2}$ alors que $\overline{1}\neq\overline{4}$.

Soit $I = \{f \in \mathbb{R}[X] : f(0) = 0\}$, l'ensemble des polynômes sans terme constant. Montrer que $I$ est un idéal de $\mathbb{R}[X]$.

(1) Le polynôme nul vérifie $0(0)=0$, donc $0 \in I$. (2) Sous-groupe additif : si $f,g \in I$, $(f+g)(0) = f(0)+g(0) = 0+0=0$, donc $f+g \in I$ ; et $(-f)(0) = -f(0) = 0$, donc $-f \in I$. (3) Absorption : si $f \in I$ et $a \in \mathbb{R}[X]$ quelconque, $(a\times f)(0) = a(0)\times f(0) = a(0)\times 0 = 0$, donc $af \in I$. Les trois conditions sont vérifiées : $I$ est un idéal. (En fait $I = (X)$, l'idéal principal engendré par $X$.)

Vrai ou faux : l'ensemble des matrices inversibles de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un idéal de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Faux. L'ensemble des matrices inversibles ne contient pas $0$ (la matrice nulle n'est pas inversible) alors qu'un idéal doit contenir $0$. De plus, ce n'est même pas un sous-groupe additif (la somme de deux matrices inversibles n'est pas forcément inversible, par exemple $I_n$ et $-I_n$).

Pourquoi $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ n'est-il pas intègre lorsque $n$ n'est pas premier (et $n>1$) ?

Si $n$ n'est pas premier et $n>1$, on peut écrire $n = a \times b$ avec $1 < a,b < n$. Alors $\overline{a} \neq \overline{0}$ et $\overline{b}\neq\overline{0}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (car $0<a,b<n$), mais $\overline{a}\times\overline{b} = \overline{ab} = \overline{n} = \overline{0}$. Donc $\overline{a}$ et $\overline{b}$ sont des diviseurs de zéro : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ n'est pas intègre. À l'inverse, on montre que si $n=p$ est premier, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est intègre (et c'est même un corps, voir leçon suivante).

Soient $I$ et $J$ deux idéaux d'un anneau commutatif $A$. Montrer que $I \cap J$ est un idéal de $A$.

$I\cap J$ est déjà un sous-groupe de $(A,+)$ (intersection de deux sous-groupes, résultat classique de théorie des groupes). Reste l'absorption : soit $x \in I\cap J$ et $a \in A$. Comme $x \in I$ et $I$ est un idéal, $ax \in I$ ; comme $x\in J$ et $J$ est un idéal, $ax \in J$. Donc $ax \in I\cap J$. Les deux conditions étant vérifiées, $I\cap J$ est un idéal de $A$.

Dans $\mathbb{Z}$, quel est l'idéal $(4) \cap (6)$ ?

$(4)\cap(6)$ est l'ensemble des entiers multiples à la fois de $4$ et de $6$, c'est-à-dire multiples du PPCM$(4,6)=12$. Donc $(4)\cap(6) = (12) = 12\mathbb{Z}$.

Soit $A$ un anneau commutatif et $I=(a)$, $J=(b)$ deux idéaux principaux. Montrer que $(a) \subset (b)$ si et seulement si $b$ divise $a$.

($\Leftarrow$) Si $b\mid a$, alors $a = bk$ pour un certain $k\in A$. Tout élément de $(a)$ s'écrit $ax = bkx \in (b)$. Donc $(a)\subset(b)$. ($\Rightarrow$) Si $(a)\subset(b)$, alors en particulier $a \in (a) \subset (b)$, donc $a = b k$ pour un certain $k \in A$, c'est-à-dire $b \mid a$. Cette équivalence justifie pourquoi, dans $\mathbb{Z}$, $(4)\subset(2)$ : $2$ divise $4$, et l'idéal engendré par un nombre est « plus petit » que celui engendré par ses diviseurs.

Pourquoi la condition d'absorption ($aI \subset I$ pour tout $a \in A$, pas seulement $a \in I$) est-elle essentielle pour que la multiplication soit bien définie dans le quotient $A/I$ ?

Supposons que l'on choisisse un autre représentant $x' = x + i$ (avec $i \in I$) pour la classe de $x$. On veut que $x'y$ et $xy$ représentent la même classe, c'est-à-dire $x'y - xy \in I$. Or $x'y - xy = (x+i)y - xy = iy$. Pour que $iy \in I$ quel que soit $y \in A$ et $i \in I$, il faut précisément la condition d'absorption $Ay\subset I$, soit $aI\subset I$ pour tout $a\in A$. Sans cette condition (par exemple si $I$ n'était qu'un sous-groupe additif), le produit des classes dépendrait du représentant choisi et ne serait pas une opération bien définie sur $A/I$.

Vrai ou faux : dans un anneau commutatif unitaire $A$, l'idéal $A$ tout entier est l'idéal principal $(1)$.

Vrai. $(1) = \{1\times x : x\in A\} = \{x : x \in A\} = A$. C'est l'idéal « le plus grand » possible (avec $A$ comme seul idéal le contenant strictement étant... lui-même, il n'y en a pas de plus grand).

Soit $A=\mathbb{Z}$ et $I=(5)$. Combien d'éléments distincts (classes) compte le quotient $A/I = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, et pourquoi ?

Le quotient $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ compte exactement $5$ classes : $\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}$. En effet, par le théorème de la division euclidienne, tout entier $n$ s'écrit de façon unique $n = 5q+r$ avec $r \in \{0,1,2,3,4\}$, et $n \equiv r \pmod 5$ (car $n-r=5q \in (5)$). Les classes sont donc indexées exactement par les restes possibles $\{0,1,2,3,4\}$, ce qui donne $5 = |I|$-classes (plus généralement, $|\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}| = n$).