Corps, corps finis et corps de fractions

Quelle est la différence essentielle entre un anneau et un corps ?

Un corps est un anneau commutatif unitaire ($1\neq0$) dans lequel, en plus, tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. C'est exactement ce qui manque à un anneau quelconque comme $\mathbb{Z}$.

Vrai ou faux : $\mathbb{Z}$ est un corps.

Faux. Dans $\mathbb{Z}$, seuls $1$ et $-1$ sont inversibles pour $\times$ ; par exemple $2$ n'a pas d'inverse entier ($1/2 \notin \mathbb{Z}$). $\mathbb{Z}$ est un anneau intègre, mais pas un corps.

Pour quelles valeurs de $n$ l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est-il un corps ?

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si $n$ est premier — c'est le théorème central de cette leçon, démontré via le théorème de Bézout.

Vrai ou faux : tout corps est un anneau intègre.

Vrai. Si $xy=0$ avec $x\neq0$ dans un corps, on multiplie par $x^{-1}$ (qui existe) pour obtenir $y=0$. Tout corps est donc intègre — mais la réciproque est fausse ($\mathbb{Z}$ est intègre, pas un corps).

Calculer l'inverse de $\overline{4}$ dans $\mathbb{F}_7 = \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.

On cherche $u$ tel que $4u \equiv 1 \pmod 7$. On teste : $4\times 2 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ (car $8 = 7+1$). Donc $\overline{4}^{-1} = \overline{2}$ dans $\mathbb{F}_7$.

Dans la construction du corps de fractions de $A=\mathbb{Z}$, pourquoi exige-t-on $b \neq 0$ dans les couples $(a,b)$ représentant $a/b$ ?

La fraction $a/b$ est censée représenter l'élément $x$ tel que $bx=a$. Si $b=0$, cette équation devient $0\times x=a$ : soit elle n'a pas de solution (si $a\neq0$), soit toute valeur de $x$ convient (si $a=0$), donc le couple $(a,0)$ ne désigne pas un élément bien défini. C'est pourquoi on exclut systématiquement $b=0$ dans la construction.

Vrai ou faux : $\mathbb{R}[X]$ (polynômes à coefficients réels) est un corps.

Faux. $\mathbb{R}[X]$ est un anneau intègre, mais le polynôme $X$ n'a pas d'inverse dans $\mathbb{R}[X]$ : il n'existe aucun polynôme $Q$ tel que $X \times Q(X) = 1$ (les degrés ne correspondraient pas : $\deg(XQ) \geq 1 \neq \deg(1) = 0$). Son corps de fractions est $\mathbb{R}(X)$, le corps des fractions rationnelles.

Pourquoi $\overline{2}$ n'est-il pas inversible dans $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ ?

$\overline{2}\times\overline{2}=\overline{4}=\overline{0}$ : $\overline{2}$ est un diviseur de zéro. Or, dans un anneau, un diviseur de zéro non nul ne peut jamais être inversible (sinon, comme dans la preuve « corps $\Rightarrow$ intègre », on en déduirait $\overline{2}=\overline{0}$, contradiction).

Soit $K$ un corps. Démontrer que l'ensemble $K^* = K \setminus \{0\}$, muni de $\times$, est un groupe.

Stabilité : si $x,y \in K^*$ (donc $x,y\neq0$), alors $xy \neq 0$ car $K$ est intègre (corps $\Rightarrow$ intègre) ; donc $xy \in K^*$. Neutre : $1 \in K^*$ car $1\neq0$ (axiome de corps). Inverses : pour $x\in K^*$, l'inverse $x^{-1}$ existe par définition d'un corps, et $x^{-1}\neq0$ (sinon $x\times x^{-1}=x\times0=0\neq1$, contradiction), donc $x^{-1}\in K^*$. Associativité : héritée de celle de $K$. Toutes les conditions sont vérifiées : $(K^*,\times)$ est un groupe (abélien si $K$ est commutatif).

En utilisant Bézout, déterminer l'inverse de $\overline{9}$ dans $\mathbb{F}_{11}$.

On applique l'algorithme d'Euclide étendu : $11 = 1\times9+2$, puis $9=4\times2+1$. En remontant : $1 = 9-4\times2 = 9-4\times(11-9) = 5\times9-4\times11$. En passant modulo $11$ : $5\times\overline{9} \equiv \overline{1}$. Vérification directe : $9\times5=45=44+1\equiv1\pmod{11}$ ✓. Donc $\overline{9}^{-1}=\overline{5}$ dans $\mathbb{F}_{11}$.

Vrai ou faux : le corps de fractions $\text{Frac}(A)$ d'un anneau intègre $A$ qui est déjà un corps est isomorphe à $A$ lui-même.

Vrai. Si $A$ est déjà un corps, tout $a/b$ (avec $b\neq0$) peut s'écrire $a\times b^{-1} \in A$ (puisque $b$ est déjà inversible dans $A$), donc la construction ne produit rien de nouveau : $\text{Frac}(A) \cong A$. Par exemple, $\text{Frac}(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Q}$.

Pourquoi le corps $\mathbb{F}_4$ ne peut-il PAS être (en tant qu'anneau) égal à $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, bien que les deux aient 4 éléments ?

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ n'est pas un corps car $4=2\times2$ n'est pas premier : $\overline{2}$ y est un diviseur de zéro non inversible. Le corps $\mathbb{F}_4$ (qui existe bel et bien, à $4=2^2$ éléments) n'est donc pas obtenu comme quotient $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ : il se construit autrement, comme extension du corps $\mathbb{F}_2$ (par exemple via un polynôme irréductible sur $\mathbb{F}_2$). Ceci illustre que les corps finis n'existent, parmi les $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, que pour $n$ premier ; les corps de cardinal $p^k$ ($k\geq2$) demandent une construction différente, hors du cadre de ce cours.

Soit $A$ un anneau intègre fini. Montrer que $A$ est nécessairement un corps (un résultat remarquable : intégrité + finitude $\Rightarrow$ corps).

Soit $a \in A$, $a\neq0$. Considérons l'application $\varphi_a : A \to A$, $x \mapsto ax$. Elle est injective : si $ax=ax'$, alors $a(x-x')=0$, et comme $A$ est intègre et $a\neq0$, on a $x-x'=0$, soit $x=x'$. Or une application injective d'un ensemble fini dans lui-même est automatiquement surjective (principe des tiroirs / cardinalité). Donc $\varphi_a$ est surjective : il existe $x \in A$ tel que $\varphi_a(x) = ax = 1$. Ainsi $a$ est inversible. Comme $a$ était un élément non nul arbitraire, tout élément non nul de $A$ est inversible : $A$ est un corps. $\blacksquare$ (Ce résultat explique directement pourquoi $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, intègre et fini, est un corps dès que $p$ est premier — sans même invoquer Bézout.)

Dans $\mathbb{F}_5$, résoudre l'équation $3x + 2 = 0$ (trouver toutes les solutions).

On a $3x=-2\equiv3\pmod5$. On cherche l'inverse de $\overline{3}$ dans $\mathbb{F}_5$ : $3\times2=6\equiv1\pmod5$, donc $\overline{3}^{-1}=\overline{2}$. On multiplie l'équation par $\overline{2}$ : $x \equiv 2\times3 = 6 \equiv 1 \pmod 5$. Comme $\mathbb{F}_5$ est un corps, l'équation $3x=c$ a une unique solution pour tout $c$ (car $3$ est inversible) : $x=\overline{1}$ est l'unique solution. Vérification : $3\times1+2=5\equiv0\pmod5$ ✓.

Vrai ou faux : dans un corps fini $\mathbb{F}_p$, l'équation $x^2=1$ admet exactement deux solutions ($\overline{1}$ et $\overline{-1}$) lorsque $p$ est premier impair.

Vrai. $x^2=1 \iff x^2-1=0 \iff (x-1)(x+1)=0$. Comme $\mathbb{F}_p$ est un corps (donc intègre), ceci équivaut à $x=\overline{1}$ ou $x=\overline{-1}$. Ces deux solutions sont distinctes lorsque $p$ est impair (car $\overline{1}=\overline{-1}$ équivaudrait à $p\mid2$, donc $p=2$). Pour $p=2$ en revanche, $\overline{1}=\overline{-1}$ et il n'y a qu'une seule solution.