Groupes, sous-groupes et morphismes

Quelles sont les trois propriétés caractérisant un groupe $(G, \ast)$ ?

Un groupe nécessite : associativité de la loi, existence d'un élément neutre, et existence d'un inverse pour chaque élément. La commutativité n'est PAS requise (elle caractérise les groupes abéliens, un cas particulier).

Vrai ou faux : $(\mathbb{Z}, \times)$ est un groupe.

Faux. Bien que $\times$ soit associative et que $1$ soit neutre, la plupart des entiers n'ont pas d'inverse dans $\mathbb{Z}$ pour la multiplication (par exemple $2$ n'a pas d'inverse entier). Seuls $1$ et $-1$ sont inversibles dans $(\mathbb{Z}, \times)$.

Dans un groupe $(G, \ast)$, l'élément neutre est-il unique ?

Vrai. Si $e$ et $e'$ sont deux neutres, alors $e' = e' \ast e = e$ (en utilisant que $e$ est neutre à droite pour $e'$, puis que $e'$ est neutre à gauche pour $e$).

Quel est l'ordre (cardinal) du groupe symétrique $\mathfrak{S}_4$ ?

Le groupe $\mathfrak{S}_n$ des permutations de $\{1,\dots,n\}$ a pour cardinal $n!$ : il y a $n!$ bijections de $\{1,\dots,n\}$ dans lui-même. Pour $n=4$ : $4! = 24$.

Le groupe $\mathfrak{S}_3$ est-il commutatif ?

Faux. Dès que $n \geq 3$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ n'est pas commutatif : par exemple deux transpositions distinctes ne commutent pas en général. C'est l'exemple le plus simple de groupe fini non abélien.

Montrer que $H = \{z \in \mathbb{C}^* : |z| = 1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.

On applique le critère par 3 conditions. (1) $H \neq \varnothing$ : $1 \in H$ car $|1|=1$. (2) Stabilité : si $z,w \in H$, alors $|zw| = |z||w| = 1 \times 1 = 1$, donc $zw \in H$. (3) Stabilité par inverse : si $z \in H$, alors $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} = 1$, donc $z^{-1} \in H$. Les trois conditions sont vérifiées : $H$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$ (c'est le cercle unité, souvent noté $\mathbb{U}$).

Soit $f : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^*_+, \times)$ définie par $f(x) = e^x$. Vérifier que $f$ est un morphisme de groupes et déterminer son noyau.

Pour tout $x,y \in \mathbb{R}$ : $f(x+y) = e^{x+y} = e^x e^y = f(x) \times f(y)$, ce qui est exactement la propriété de morphisme entre $(\mathbb{R},+)$ et $(\mathbb{R}^*_+,\times)$. Le noyau est $\ker f = \{x \in \mathbb{R} : e^x = 1\} = \{0\}$ (le neutre de $(\mathbb{R}^*_+,\times)$ est $1$). Comme $\ker f = \{0\}$ (le neutre de $(\mathbb{R},+)$), $f$ est injectif ; et $f$ est surjectif (tout réel strictement positif a un logarithme) : c'est donc un isomorphisme, d'inverse $\ln$.

Quels sont, à l'aide du critère de sous-groupe, les sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$ ?

Un théorème classique affirme que les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ sont exactement les ensembles $n\mathbb{Z} = \{nk : k\in\mathbb{Z}\}$, pour $n \in \mathbb{N}$ (avec $n=0$ donnant $\{0\}$ et $n=1$ donnant $\mathbb{Z}$ tout entier). C'est une conséquence de la division euclidienne.

Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes. Démontrer que $\ker f$ est un sous-groupe de $G$.

On vérifie les 3 conditions. (1) $e_G \in \ker f$ car tout morphisme envoie le neutre sur le neutre : $f(e_G) = e_{G'}$. (2) Stabilité : si $x,y \in \ker f$, alors $f(xy) = f(x)f(y) = e_{G'} \cdot e_{G'} = e_{G'}$, donc $xy \in \ker f$. (3) Stabilité par inverse : si $x \in \ker f$, alors $f(x^{-1}) = f(x)^{-1} = e_{G'}^{-1} = e_{G'}$, donc $x^{-1} \in \ker f$. Les trois conditions sont vérifiées : $\ker f$ est un sous-groupe de $G$. $\blacksquare$

Dans $GL_2(\mathbb{R})$, l'ensemble $SL_2(\mathbb{R}) = \{M \in GL_2(\mathbb{R}) : \det(M) = 1\}$ est-il un sous-groupe ?

Vrai. $I_2 \in SL_2(\mathbb{R})$ car $\det(I_2)=1$. Si $\det(A)=\det(B)=1$, alors $\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1$, donc $AB \in SL_2(\mathbb{R})$. Et $\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1$, donc $A^{-1} \in SL_2(\mathbb{R})$. C'est le groupe spécial linéaire, sous-groupe de $GL_2(\mathbb{R})$.

Soit $G$ un groupe fini et $f : G \to G'$ un morphisme injectif. Que peut-on dire de $|\text{Im}\,f|$ ?

Comme $f$ est injectif, $f$ réalise une bijection de $G$ vers $\text{Im}\,f$ (par définition de l'image, $f$ est surjectif sur $\text{Im}\,f$, et il est injectif par hypothèse). Donc $|\text{Im}\,f| = |G|$ : $G$ est isomorphe à son image.

Démontrer que dans un groupe $(G,\ast)$, l'inverse de $x \ast y$ est $y^{-1} \ast x^{-1}$ (et non $x^{-1}\ast y^{-1}$ en général).

On calcule, en utilisant l'associativité : $(x \ast y) \ast (y^{-1} \ast x^{-1}) = x \ast (y \ast y^{-1}) \ast x^{-1} = x \ast e \ast x^{-1} = x \ast x^{-1} = e$. De même, $(y^{-1}\ast x^{-1}) \ast (x \ast y) = y^{-1}\ast(x^{-1}\ast x)\ast y = y^{-1}\ast e \ast y = y^{-1} \ast y = e$. Par unicité de l'inverse, $(x\ast y)^{-1} = y^{-1}\ast x^{-1}$. Attention : si le groupe n'est pas commutatif, $y^{-1}\ast x^{-1} \neq x^{-1}\ast y^{-1}$ en général — l'ordre s'inverse, comme pour la transposée d'un produit de matrices $(AB)^T = B^T A^T$.

Soit $G$ un groupe et $H_1, H_2$ deux sous-groupes de $G$. Démontrer que $H_1 \cap H_2$ est un sous-groupe de $G$.

(1) $e \in H_1$ et $e \in H_2$ (ce sont des sous-groupes), donc $e \in H_1 \cap H_2$ : l'intersection est non vide. (2) Stabilité : si $x,y \in H_1\cap H_2$, alors $x,y \in H_1$ donc $xy \in H_1$ (car $H_1$ sous-groupe) ; de même $xy \in H_2$. Donc $xy \in H_1\cap H_2$. (3) Inverse : si $x \in H_1\cap H_2$, alors $x^{-1}\in H_1$ et $x^{-1}\in H_2$ (sous-groupes), donc $x^{-1} \in H_1\cap H_2$. Les trois conditions étant vérifiées, $H_1\cap H_2$ est un sous-groupe de $G$. (Attention : ce résultat est faux pour la réunion $H_1\cup H_2$ en général.)

Le groupe $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$ et le sous-groupe $\{0,2\}$ de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ : ce sous-groupe est-il isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ?

Vrai. L'application $\{0,2\} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $0 \mapsto \overline{0}$, $2 \mapsto \overline{1}$ est une bijection qui respecte l'addition ($2+2=4\equiv 0$ correspond à $\overline{1}+\overline{1}=\overline{0}$) : c'est un isomorphisme. Tout groupe à 2 éléments est isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, car la table de composition d'un groupe à 2 éléments est entièrement déterminée par les axiomes de groupe.

Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes surjectif. Montrer que si $G$ est abélien, alors $G'$ est abélien.

Soient $a,b \in G'$. Comme $f$ est surjectif, il existe $x,y \in G$ tels que $f(x)=a$ et $f(y)=b$. Alors, en utilisant que $f$ est un morphisme puis que $G$ est abélien :