Applications linéaires

Vrai ou faux : Toute application linéaire vérifie $f(0) = 0$.

Vrai. $f(0) = f(0\cdot u) = 0\cdot f(u) = 0$ pour tout $u\in E$. C'est une conséquence directe de la linéarité.

L'application $f(x,y) = (2x, 3y)$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ est-elle linéaire ?

$f(\lambda(x_1,y_1)+\mu(x_2,y_2)) = f(\lambda x_1+\mu x_2, \lambda y_1+\mu y_2) = (2(\lambda x_1+\mu x_2), 3(\lambda y_1+\mu y_2)) = \lambda(2x_1,3y_1)+\mu(2x_2,3y_2) = \lambda f(x_1,y_1)+\mu f(x_2,y_2)$. Oui, linéaire.

La matrice d'une application linéaire $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ est de taille :

La matrice a autant de lignes que la dimension de l'espace d'arrivée ($3$) et autant de colonnes que la dimension de l'espace de départ ($2$). Taille : $3\times 2$.

Si $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ est linéaire avec $\dim(\ker f)=2$, quelle est la dimension de l'image ?

Théorème du rang : $\dim(\ker f) + \dim(\text{Im}\,f) = \dim E = 3$. Donc $\dim(\text{Im}\,f) = 3 - 2 = 1$.

Vrai ou faux : Si $f:E\to F$ est linéaire injective, alors $f$ est surjective.

Faux en général. Par exemple $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$, $f(x)=(x,0)$ est injective ($\ker f=\{0\}$) mais pas surjective ($\text{Im}\,f\neq\mathbb{R}^2$). C'est vrai seulement si $\dim E=\dim F$.

Trouver le noyau de $f(x,y,z) = (x+y, y+z)$ de $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$.

Résolution :

$\ker f = \{(x,y,z) : x+y=0 \text{ et } y+z=0\}$.

$x+y=0 \Rightarrow x=-y$ ; $y+z=0 \Rightarrow z=-y$.

Variable libre $y=t$ : $(x,y,z) = (-t,t,-t) = t(-1,1,-1)$.

$\ker f = \text{Vect}\{(-1,1,-1)\}$, de dimension $1$.

Vérification (théorème du rang) : $\dim(\text{Im}\,f) = 3-1=2$, et $\text{Im}\,f\subset\mathbb{R}^2$ de dimension $2$ → $f$ est surjective.

Vrai ou faux : La composée de deux applications linéaires est linéaire.

Vrai. Si $f:E\to F$ et $g:F\to G$ sont linéaires, alors $(g\circ f)(\lambda u+\mu v) = g(f(\lambda u+\mu v)) = g(\lambda f(u)+\mu f(v)) = \lambda g(f(u))+\mu g(f(v)) = \lambda(g\circ f)(u)+\mu(g\circ f)(v)$.

L'application $f(x,y)=(x+1, y)$ de $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ est-elle linéaire ?

Faux. $f(0,0)=(1,0)\neq(0,0)$. Une application linéaire doit envoyer $0$ sur $0$. Ici c'est une application affine (translation), pas linéaire.

Quelle est la matrice dans les bases canoniques de la symétrie de $\mathbb{R}^2$ par rapport à l'axe des $x$ ?

La symétrie par rapport à l'axe des $x$ envoie $(x,y)\mapsto(x,-y)$. $f(1,0)=(1,0)$ et $f(0,1)=(0,-1)$. Matrice : $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$.

Si $f:E\to F$ est un isomorphisme, que vaut $\dim E - \dim F$ ?

Un isomorphisme est bijectif et linéaire. Par le théorème du rang avec $\ker f=\{0\}$ (injectif) : $\dim E = 0 + \dim(\text{Im}\,f) = \dim(\text{Im}\,f)$. Et $f$ surjective : $\text{Im}\,f = F$, donc $\dim E = \dim F$, i.e. $\dim E - \dim F = 0$.

Démontrer le théorème du rang : $\dim(\ker f)+\dim(\text{Im}\,f)=\dim E$.

Preuve :

Soit $\dim(\ker f) = r$, $(e_1,\ldots,e_r)$ une base de $\ker f$. On complète en une base de $E$ : $(e_1,\ldots,e_r,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_s)$ avec $r+s=\dim E$.

Claim : $(f(\varepsilon_1),\ldots,f(\varepsilon_s))$ est une base de $\text{Im}\,f$.

Génératrice : Tout $y\in\text{Im}\,f$ s'écrit $y=f(x)$ avec $x=\sum\alpha_i e_i+\sum\beta_j\varepsilon_j$, donc $y=\sum\beta_j f(\varepsilon_j)$.

Libre : Si $\sum\beta_j f(\varepsilon_j)=0$, alors $f(\sum\beta_j\varepsilon_j)=0$, donc $\sum\beta_j\varepsilon_j\in\ker f$, et $\sum\beta_j\varepsilon_j=\sum\alpha_i e_i$. Par liberté de la base, tous les coefficients sont nuls.

Donc $\dim(\text{Im}\,f)=s=\dim E - r = \dim E - \dim(\ker f)$. $\square$

Vrai ou faux : Deux espaces vectoriels de même dimension finie sur $\mathbb{R}$ sont isomorphes.

Vrai. Si $\dim E = \dim F = n$, on choisit des bases $\mathcal{B}_E$ et $\mathcal{B}_F$. L'application qui envoie le $i$-ème vecteur de $\mathcal{B}_E$ sur le $i$-ème vecteur de $\mathcal{B}_F$ est un isomorphisme. Tout espace vectoriel de dimension $n$ est isomorphe à $\mathbb{R}^n$.

Trouver une application linéaire $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ de noyau $\text{Vect}\{(1,2)\}$.

Construction :

On veut $f(1,2)=(0,0)$ et $f$ linéaire. Cherchons $f(x,y)=(ax+by, cx+dy)$.

Condition : $a+2b=0$ et $c+2d=0$.

Choix simple : $a=2, b=-1$ et $c=0, d=0$.

$f(x,y) = (2x-y, 0)$.

Vérification : $f(1,2)=(2-2,0)=(0,0)$ ✓. $\ker f = \{(x,y):2x-y=0\} = \{(x,2x):x\in\mathbb{R}\} = \text{Vect}\{(1,2)\}$ ✓.

Quelle est la matrice de la rotation d'angle $\theta$ dans le plan $\mathbb{R}^2$ ?

La rotation d'angle $\theta$ envoie $e_1=(1,0)$ sur $(\cos\theta,\sin\theta)$ et $e_2=(0,1)$ sur $(-\sin\theta,\cos\theta)$. La matrice (colonnes = images des vecteurs de base) est $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$.

Vrai ou faux : Si $f\circ g = \text{Id}$, alors $f$ est surjective et $g$ est injective.

Vrai. Si $f\circ g=\text{Id}_E$ : $g$ injective : si $g(x)=g(y)$, alors $x=\text{Id}(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(g(y))=(f\circ g)(y)=y$. $f$ surjective : pour tout $z$, $z=\text{Id}(z)=(f\circ g)(z)=f(g(z))$, donc $z\in\text{Im}\,f$.