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Licence 1 · Algèbre L1 — Espaces vectoriels et systèmes linéaires

Calcul matriciel : addition, multiplication, transposition

### 1. Définitions de base

Une matrice $A$ de taille $m \times n$ (à coefficients réels) est un tableau de $m$ lignes et $n$ colonnes :

A = (a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

On note $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices $m \times n$ . Si $m=n$ , on parle de matrice carrée d'ordre $n$ , et on note $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Cas particuliers : une matrice $n \times 1$ est un vecteur colonne, une matrice $1 \times n$ un vecteur ligne. La matrice nulle $0_{m,n}$ a tous ses coefficients égaux à $0$ . La matrice identité $I_n$ est carrée d'ordre $n$ , avec des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs : $(I_n)_{ij} = \delta_{ij}$ (symbole de Kronecker).

### 2. Addition de matrices et multiplication par un scalaire

Deux matrices ne peuvent s'additionner que si elles ont la même taille. Si $A, B \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ , la somme $A+B$ est définie coefficient par coefficient :

(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ , la multiplication par un scalaire est $(\lambda A)_{ij} = \lambda \, a_{ij}$ .

Propriétés (qui font de $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ un espace vectoriel) : pour toutes matrices $A, B, C$ de même taille et tous scalaires $\lambda, \mu$ :
- $A + B = B + A$ (commutativité) ;
- $(A+B)+C = A+(B+C)$ (associativité) ;
- $A + 0_{m,n} = A$ ;
- $\lambda(A+B) = \lambda A + \lambda B$ et $(\lambda+\mu)A = \lambda A + \mu A$ .

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Alors $A+B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ .

### 3. Produit matriciel

Le produit $AB$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ . Si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , alors $AB \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R})$ avec :

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}

Autrement dit, le coefficient $(i,j)$ de $AB$ s'obtient en faisant le produit scalaire de la $i$ -ième ligne de $A$ avec la $j$ -ième colonne de $B$ .

Exemple résolu : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .

AB = \begin{pmatrix} 1\times 2 + 2\times 1 & 1\times 1 + 2\times 4 \\ 3\times 2 + 0\times 1 & 3\times 1 + 0\times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}

Propriétés du produit :
- Associativité : $(AB)C = A(BC)$ ;
- Distributivité : $A(B+C) = AB+AC$ et $(A+B)C = AC+BC$ ;
- Élément neutre : $A\, I_n = I_n\, A = A$ pour $A$ carrée d'ordre $n$ ;
- Non-commutativité : en général $AB \neq BA$ , et l'un des deux produits peut même ne pas être défini si les tailles ne correspondent pas ;
- Présence de diviseurs de zéro : $AB = 0$ n'implique pas $A=0$ ou $B=0$ . Exemple : $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ alors qu'aucun des deux facteurs n'est nul.

### 4. Transposition

La transposée $A^T$ (ou $A^{\top}$ ) d'une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est la matrice de $\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ obtenue en échangeant lignes et colonnes : $(A^T)_{ij} = a_{ji}$ .

Exemple : si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ , alors $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .

Propriétés de la transposition :
- $(A^T)^T = A$ ;
- $(A+B)^T = A^T + B^T$ ;
- $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ ;
- $(AB)^T = B^T A^T$ (attention à l'inversion de l'ordre des facteurs) ;
- une matrice carrée $A$ est dite symétrique si $A^T = A$ , et antisymétrique si $A^T = -A$ (dans ce cas, sa diagonale est nécessairement nulle).

Exemple résolu (preuve de $(AB)^T = B^TA^T$ via les coefficients) : Pour $A \in \mathcal{M}_{m,n}$ , $B \in \mathcal{M}_{n,p}$ :

\big((AB)^T\big)_{ji} = (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^n (A^T)_{ki}(B^T)_{jk} = \sum_{k=1}^n (B^T)_{jk}(A^T)_{ki} = (B^TA^T)_{ji}

Les deux matrices ont donc les mêmes coefficients :

(AB)^T = B^TA^T

\square

### 5. Puissances de matrices carrées

Pour $A$ carrée d'ordre $n$ , on définit $A^0 = I_n$ , $A^1 = A$ , et $A^{k+1} = A^k \cdot A$ pour $k \geq 1$ . Comme le produit matriciel est associatif, les règles usuelles s'appliquent : $A^k A^l = A^{k+l}$ . Attention : en général $(AB)^k \neq A^k B^k$ si $AB \neq BA$ , et $(A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$ sauf si $A$ et $B$ commutent.

### 6. Résumé méthodologique

| Opération | Condition de taille | Résultat |
|---|---|---|
| $A+B$ | même taille $m \times n$ | taille $m \times n$ |
| $\lambda A$ | aucune (toute matrice) | même taille que $A$ |
| $AB$ | colonnes de $A$ = lignes de $B$ | taille (lignes de $A$ ) $\times$ (colonnes de $B$ ) |
| $A^T$ | aucune | taille $n \times m$ si $A$ est $m \times n$ |

Exercices de la leçon

Exercice 1

Soit $A$ une matrice $2 \times 3$ et $B$ une matrice $3 \times 4$ . Quelle est la taille de $AB$ ?

Corrigé

Le produit $AB$ est défini car le nombre de colonnes de $A$ ( $3$ ) égale le nombre de lignes de $B$ ( $3$ ). Le résultat a pour taille (lignes de $A$ ) $\times$ (colonnes de $B$ ) $= 2 \times 4$ .

Exercice 2

Calculer $A+B$ pour $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ .

Corrigé

On additionne coefficient par coefficient : $(2+1, -1+4 ; 0+5, 3-2) = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$ .

Exercice 3

Vrai ou faux : pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même taille, $AB = BA$ .

Corrigé

Faux. Le produit matriciel n'est en général pas commutatif. Par exemple $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ donnent $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , qui sont différentes.

Exercice 4

Quelle est la matrice identité $I_2$ ?

Corrigé

$I_2$ est la matrice carrée d'ordre $2$ avec des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs : c'est l'élément neutre du produit matriciel.

Exercice 5

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ . Quelle est la taille de $A^T$ ?

Corrigé

$A$ est de taille $2 \times 3$ (2 lignes, 3 colonnes), donc sa transposée $A^T$ échange lignes et colonnes : elle est de taille $3 \times 2$ .

Exercice 6

Calculer le produit $AB$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .

Corrigé

$(AB)_{11} = 1\times2+2\times1=4$ , $(AB)_{12}=1\times1+2\times4=9$ , $(AB)_{21}=3\times2+0\times1=6$ , $(AB)_{22}=3\times1+0\times4=3$ . D'où $AB=\begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$ .

Exercice 7

Vrai ou faux : $(A+B)^T = A^T + B^T$ pour toutes matrices $A, B$ de même taille.

Corrigé

Vrai. $\big((A+B)^T\big)_{ji} = (A+B)_{ij} = a_{ij}+b_{ij} = (A^T)_{ji}+(B^T)_{ji} = (A^T+B^T)_{ji}$ pour tous $i,j$ , donc les deux matrices sont égales.

Exercice 8

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ . Que vaut $A^2$ ?

Corrigé

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2$ .

Exercice 9

Pour quelle(s) tailles de matrices carrées $A$ et $B$ a-t-on toujours $(AB)^T = B^TA^T$ ?

Corrigé

La propriété $(AB)^T = B^TA^T$ est toujours vraie dès que le produit $AB$ est défini (et alors $B^TA^T$ l'est aussi), quelles que soient les matrices considérées.

Exercice 10

Soit $A$ une matrice antisymétrique ( $A^T=-A$ ). Que peut-on dire de sa diagonale ?

Corrigé

Pour $A^T = -A$ , on a $(A^T)_{ii} = -A_{ii}$ . Mais $(A^T)_{ii} = a_{ii}$ (la transposition ne change pas la diagonale). Donc $a_{ii} = -a_{ii}$ , soit $2a_{ii}=0$ , donc $a_{ii}=0$ pour tout $i$ : tous les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.

Exercice 11

Démontrer que toute matrice carrée $A$ s'écrit de manière unique comme somme d'une matrice symétrique $S$ et d'une matrice antisymétrique $T$ .

Corrigé

Analyse : si $A = S+T$ avec $S^T=S$ et $T^T=-T$ , alors $A^T = S^T+T^T = S-T$ . On obtient le système $A=S+T$ , $A^T=S-T$ , d'où nécessairement $S=\dfrac{A+A^T}{2}$ et $T=\dfrac{A-A^T}{2}$ : le candidat est déterminé, ce qui prouve l'unicité.

Synthèse : posons $S=\dfrac{A+A^T}{2}$ , $T=\dfrac{A-A^T}{2}$ . Alors $S^T = \dfrac{A^T+A}{2}=S$ (symétrique), $T^T=\dfrac{A^T-A}{2}=-T$ (antisymétrique), et $S+T = \dfrac{A+A^T}{2}+\dfrac{A-A^T}{2}=A$ . Ceci prouve l'existence. $\square$

Exercice 12

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = 0$ mais $A \neq 0$ (matrice nilpotente d'ordre $2$ ). Que peut-on en déduire sur l'inversibilité de $A$ ?

Corrigé

Si $A$ était inversible, on pourrait multiplier $A^2=0$ par $A^{-1}$ à gauche pour obtenir $A = A^{-1}A^2 = A^{-1}\cdot 0 = 0$ , ce qui contredit $A \neq 0$ . Donc $A$ n'est pas inversible. Exemple : $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ vérifie $A^2=0$ et n'est pas inversible.

Exercice 13

Vrai ou faux : si $A$ et $B$ sont deux matrices carrées symétriques de même taille, alors $AB$ est nécessairement symétrique.

Corrigé

Faux en général. $(AB)^T = B^TA^T = BA$ (car $A,B$ symétriques). Donc $AB$ est symétrique si et seulement si $AB=BA$ , ce qui n'est pas garanti. Contre-exemple : $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ sont symétriques, mais $AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ n'est pas symétrique.

Exercice 14

Soit $A$ une matrice carrée telle que $A^3=A$ . Donner un exemple non trivial (différent de $0$ et $I_n$ ) d'une telle matrice $2\times 2$ , et vérifier la propriété.

Corrigé

Prenons $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Alors $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ , donc $A^3 = A \cdot A^2 = A \cdot I_2 = A$ . La propriété $A^3=A$ est bien vérifiée, et $A$ n'est ni nulle ni égale à $I_2$ .

Exercice 15

Démontrer que pour toutes matrices $A,B$ telles que le produit $(AB)$ a un sens, et pour $C$ telle que $BC$ a un sens, on a $(ABC)^T = C^TB^TA^T$ .

Corrigé

On utilise la propriété $(XY)^T = Y^TX^T$ appliquée successivement. En posant $X=AB$ et $Y=C$ : $(ABC)^T = \big((AB)C\big)^T = C^T(AB)^T$ . Puis en appliquant à nouveau la règle à $(AB)^T$ : $(AB)^T = B^TA^T$ . En combinant : $(ABC)^T = C^T B^T A^T$ . Plus généralement, la transposée d'un produit quelconque de matrices est le produit des transposées dans l'ordre inverse. $\square$

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