Espaces vectoriels et sous-espaces

Vrai ou faux : $\{0\}$ est un sous-espace vectoriel de tout espace vectoriel.

Vrai. $\{0\}$ contient le vecteur nul, et $0+0=0\in\{0\}$, $\lambda\cdot 0=0\in\{0\}$. C'est le sev trivial (ou nul).

Les vecteurs $(1,2)$ et $(2,4)$ de $\mathbb{R}^2$ sont :

$(2,4) = 2(1,2)$, donc ils sont liés. $\lambda_1(1,2)+\lambda_2(2,4)=0$ a des solutions non triviales : $\lambda_1=-2\lambda_2$.

La dimension de $\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ (matrices $2\times 3$ réelles) est :

Une matrice $2\times 3$ a $2\times 3 = 6$ entrées. La base canonique est constituée des $6$ matrices $E_{ij}$ (un $1$ en position $(i,j)$, des $0$ ailleurs). Donc $\dim = 6$.

Vrai ou faux : L'ensemble $F = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x+y=1\}$ est un sev de $\mathbb{R}^2$.

Faux. $(0,0)\notin F$ car $0+0=0\neq 1$. Un sev doit contenir le vecteur nul. Ici $F$ est un hyperplan affine, pas un sous-espace vectoriel.

Combien de vecteurs contient une base de $\mathbb{R}^4$ ?

$\dim\mathbb{R}^4 = 4$. Toute base de $\mathbb{R}^4$ contient exactement $4$ vecteurs (théorème de la base).

Les vecteurs $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,0)$ forment-ils une base de $\mathbb{R}^3$ ?

Calcul du déterminant :

Le déterminant est non nul donc les vecteurs sont linéairement indépendants. Comme on a $3$ vecteurs indépendants dans $\mathbb{R}^3$ de dimension $3$, ils forment une base.

Si $F$ et $G$ sont des sev de $E$ avec $\dim F = 3$, $\dim G = 4$ et $\dim E = 5$, quelle est la dimension minimale de $F\cap G$ ?

Grassmann : $\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F\cap G) = 7 - \dim(F\cap G)$. Or $\dim(F+G)\leq \dim E = 5$, donc $\dim(F\cap G) \geq 7-5 = 2$.

Vrai ou faux : Tout sous-ensemble de vecteurs d'un espace vectoriel peut être complété en une base.

Faux. On peut compléter une famille libre en une base (théorème de la base incomplète). Mais un sous-ensemble quelconque peut contenir des vecteurs liés, et on ne peut alors pas le compléter directement en une base sans d'abord extraire une sous-famille libre.

Montrer que $F = \{p\in\mathbb{R}[X] : p(0)=0\}$ est un sev de $\mathbb{R}[X]$.

Vérification des trois axiomes :

1. Vecteur nul : Le polynôme nul $p=0$ vérifie $p(0)=0$, donc $0\in F$.

2. Stabilité par addition : Si $p,q\in F$, alors $(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0$, donc $p+q\in F$.

3. Stabilité par scalaire : Si $p\in F$ et $\lambda\in\mathbb{R}$, alors $(\lambda p)(0)=\lambda\cdot p(0)=\lambda\cdot 0=0$, donc $\lambda p\in F$.

Conclusion : $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$.

Vrai ou faux : L'intersection de deux sev est toujours un sev.

Vrai. Si $F,G$ sont des sev de $E$ : $0\in F\cap G$. Si $u,v\in F\cap G$ et $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, alors $\lambda u+\mu v\in F$ (car $F$ est sev) et $\lambda u+\mu v\in G$ (car $G$ est sev), donc $\lambda u+\mu v\in F\cap G$.

Donner la dimension et une base de $F = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y+z=0\}$.

Solution :

L'équation $x+y+z=0$ donne $z=-x-y$. On paramètre par $x=s, y=t$ libres :

Les vecteurs $e_1=(1,0,-1)$ et $e_2=(0,1,-1)$ sont linéairement indépendants (non proportionnels).

Dimension : $\dim F = 2$ (une équation dans $\mathbb{R}^3$ : $\dim F = 3-1 = 2$).

Base : $\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}$.

Vrai ou faux : Si $E = F\oplus G$ (somme directe), alors tout vecteur de $E$ s'écrit de façon unique comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$.

Vrai. C'est la définition équivalente de la somme directe : $E=F\oplus G$ ssi $E=F+G$ et $F\cap G=\{0\}$, ce qui est équivalent à dire que toute décomposition $v=f+g$ ($f\in F, g\in G$) est unique.

Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Quelle est la dimension de l'espace des polynômes de degré $\leq n$ pairs ?

Un polynôme pair de degré $\leq n$ est de la forme $a_0 + a_2X^2 + a_4X^4+\cdots$, les puissances paires jusqu'à $n$ (ou $n-1$ si $n$ est impair). Le nombre de termes est $\lfloor n/2\rfloor + 1$, et la base est $\{1, X^2, X^4, \ldots, X^{2\lfloor n/2\rfloor}\}$.

Montrer que si $F\subsetneq G$ sont des sev d'un espace de dimension finie, alors $\dim F < \dim G$.

Preuve :

Soit $(e_1,\ldots,e_r)$ une base de $F$ avec $r=\dim F$. C'est une famille libre de vecteurs de $G$.

Supposons par l'absurde que $\dim F = \dim G = r$. Alors $(e_1,\ldots,e_r)$ est une famille libre de $r$ vecteurs dans un espace de dimension $r$, donc c'est une base de $G$.

Cela implique $G = \text{Vect}(e_1,\ldots,e_r) = F$, ce qui contredit $F\subsetneq G$.

Donc $\dim F < \dim G$. $\square$

Vrai ou faux : Toute famille de $n+1$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est liée.

Vrai. Dans un espace de dimension $n$, toute famille libre a au plus $n$ vecteurs. Donc toute famille de $n+1$ vecteurs (ou plus) est nécessairement liée. C'est une conséquence directe de la définition de la dimension.