Systèmes d'équations linéaires et méthode de Gauss

Le système $\begin{cases}x+y=3\\2x-y=0\end{cases}$ admet :

De $L_2+L_1$ : $3x=3$ donc $x=1$, puis $y=3-1=2$. Solution unique $(1,2)$.

Vrai ou faux : Un système homogène admet toujours au moins une solution.

Vrai. La solution nulle $X = 0$ est toujours solution d'un système homogène $AX = 0$.

Combien de solutions admet $\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\end{cases}$ ?

Les deux équations sont contradictoires ($1=2$). Le système est incompatible : aucune solution.

Quelle opération de Gauss transforme $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ si $L_1=(1,2,3)$ et $L_2=(3,7,10)$ ?

$L_2 - 3L_1 = (3,7,10) - 3(1,2,3) = (3-3, 7-6, 10-9) = (0,1,1)$.

Le rang de la matrice $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ est :

Le rang est le nombre de lignes non nulles après échelonnage, ou le nombre de pivots. Ici il y a 2 pivots (les deux $1$ sur la diagonale), donc rang $= 2$.

Résoudre par Gauss : $\begin{cases}2x+4y=6\\x+y=2\end{cases}$.

Gauss :
Matrice augmentée : $\begin{pmatrix}2&4&|&6\\1&1&|&2\end{pmatrix}$.

$L_1 \leftarrow L_1/2$ : $\begin{pmatrix}1&2&|&3\\1&1&|&2\end{pmatrix}$.

$L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ : $\begin{pmatrix}1&2&|&3\\0&-1&|&-1\end{pmatrix}$.

Remontée : $-y = -1 \Rightarrow y=1$, puis $x+2(1)=3 \Rightarrow x=1$.

Solution : $(x,y) = (1,1)$.

Vrai ou faux : Si $\text{rang}(A) < n$ (nombre d'inconnues), le système homogène $AX=0$ admet des solutions non triviales.

Vrai. Si $\text{rang}(A) = r < n$, le système homogène a $n-r > 0$ variables libres, générant un espace vectoriel de solutions de dimension $n-r > 0$, donc des solutions non triviales.

Pour quelle valeur de $k$ le système $\begin{cases}x+2y=3\\2x+ky=6\end{cases}$ a-t-il une infinité de solutions ?

$L_2 - 2L_1$ donne $(2-2)x + (k-4)y = 0$. Pour une infinité de solutions, il faut $k-4=0$, i.e. $k=4$ (la deuxième équation devient $0=0$, variable libre).

Résoudre $\begin{cases}x+y+z=6\\2x+y-z=3\\x-y+2z=5\end{cases}$.

Gauss :

$L_2 \leftarrow L_2-2L_1$ : $-y-3z=-9$
$L_3 \leftarrow L_3-L_1$ : $-2y+z=-1$

De $-y-3z=-9$ : $y=9-3z$.
Substituer dans $-2(9-3z)+z=-1$ : $-18+6z+z=-1$ : $7z=17$... Recalculons :
$L_2: 0x-y-3z=-9$
$L_3: 0x-2y+z=-1$
$L_3-2L_2: 0x+0y+7z=17$... $z=17/7$? Vérifions l'énoncé. En fait : $L_2: 2x+y-z-2(x+y+z)=-3y-3z=3-12=-9$ ✓. $L_3-L_1: -2y+z=-1$. $L_3-2L_2: 0x+(-2-(-1)\cdot2)y+(1+3)z = 0-2y-(-2)y+z+6z$... $(L_3+2L_2)$? Non : $L_3 = -2y+z=-1$, $2\times L_2 = -2y-6z=-18$. $L_3-L_2$: $(-2+1)y+(1+3)z = (-1+9)$, soit $-y+4z=8$. Avec $-y-3z=-9$ : soustraction donne $7z=17$. Finalement $z=17/7$ n'est pas entier. Essayons $z=3$: $-y-9=-9\Rightarrow y=0$; $x+0+3=6\Rightarrow x=3$; vérif $L_2:6+0-3=3$ ✓; $L_3:3-0+6=9\neq5$. Il semble que la solution ne soit pas entière ; avec Gauss rigoureux : $z=17/7$, $y=9-3(17/7)=9-51/7=12/7$, $x=6-12/7-17/7=6-29/7=13/7$.

Vrai ou faux : Deux systèmes ayant la même matrice augmentée échelonnée ont les mêmes solutions.

Vrai. Les opérations élémentaires sur les lignes (utilisées dans Gauss) préservent l'ensemble des solutions. Deux systèmes équivalents par ces opérations ont exactement les mêmes solutions.

Déterminer pour quelles valeurs de $\lambda$ le système $\begin{cases}\lambda x + y = 1\\x+\lambda y=1\end{cases}$ admet une unique solution.

Le système s'écrit $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix}\lambda&1\\1&\lambda\end{pmatrix}$.

$\det(A) = \lambda^2 - 1 = (\lambda-1)(\lambda+1)$.

Unique solution ssi $\det(A)\neq 0$, i.e. $\lambda \neq \pm 1$.

Si $\lambda=1$ : les deux équations sont $x+y=1$ → infinité de solutions.

Si $\lambda=-1$ : $-x+y=1$ et $x-y=1$, soit $x-y=-1$ et $x-y=1$ → incompatible (aucune solution).

Vrai ou faux : Si $A$ est une matrice $3\times 4$ de rang $3$, le système $AX=B$ (pour tout $B\in\mathbb{R}^3$) admet toujours une infinité de solutions.

Vrai. $\text{rang}(A)=3=m$ donc $\text{rang}(A|B)=3$ pour tout $B$ (le système est toujours compatible). Comme $n=4 > r=3$, il y a $n-r=1$ variable libre : une infinité de solutions.

Quelle est la forme générale de l'ensemble des solutions d'un système linéaire compatible ?

L'ensemble des solutions de $AX=B$ est $x_0 + \ker(A)$ où $x_0$ est une solution particulière et $\ker(A)$ est le noyau (solutions de $AX=0$). C'est une variété affine (translaté d'un sous-espace vectoriel), pas en général un sous-espace.

Résoudre le système homogène $\begin{cases}x+y-z=0\\2x-y+z=0\end{cases}$.

Gauss :
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : $-3y+3z=0 \Rightarrow y=z$.

De $L_1$ : $x + y - z = 0 \Rightarrow x = z - y = z - z = 0$.

Variable libre : $z = t \in \mathbb{R}$.

Solution générale : $(x,y,z) = t(0,1,1)$, $t \in \mathbb{R}$.

Le noyau est le sous-espace vectoriel $\text{Vect}\{(0,1,1)\}$, de dimension $1$.

Vrai ou faux : La méthode de Gauss-Jordan permet d'obtenir directement la matrice inverse d'une matrice carrée inversible.

Vrai. On augmente $A$ par la matrice identité : $(A|I)$ et on applique les opérations élémentaires jusqu'à obtenir $(I|A^{-1})$. Si on ne parvient pas à mettre $A$ sous forme identité, $A$ n'est pas inversible.