Déterminants et inversibilité

Calculer $\det\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$.

$\det=3\times4-1\times2=12-2=10$.

Vrai ou faux : $\det(AB)=\det(A)+\det(B)$.

Faux. La formule correcte est $\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)$ (multiplicativité), pas la somme.

La matrice $A=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}$ est-elle inversible ?

$\det(A)=2\times2-4\times1=4-4=0$. Le déterminant est nul, donc $A$ n'est pas inversible.

Calculer $\det\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{pmatrix}$.

Pour une matrice triangulaire inférieure, le déterminant est le produit des éléments diagonaux : $\det=1\times3\times6=18$.

Si $\det(A)=3$, quel est $\det(2A)$ pour $A\in\mathcal{M}_3$ ?

$\det(2A)=2^3\det(A)=8\times3=24$. En général $\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)$ pour une matrice $n\times n$.

Calculer le déterminant de $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}$.

Matrice triangulaire supérieure : $\det=1\times4\times6=24$.

Résoudre $\begin{cases}2x+y=5\\x+3y=4\end{cases}$ par la règle de Cramer.

Cramer :
$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, $\det(A)=6-1=5$.

$A_1=\begin{pmatrix}5&1\\4&3\end{pmatrix}$, $\det(A_1)=15-4=11$, $x=11/5$.

$A_2=\begin{pmatrix}2&5\\1&4\end{pmatrix}$, $\det(A_2)=8-5=3$, $y=3/5$.

Vérif : $2(11/5)+3/5=25/5=5$ ✓, $(11/5)+3(3/5)=11/5+9/5=20/5=4$ ✓.

Vrai ou faux : $\det(A+B)=\det(A)+\det(B)$.

Faux. Le déterminant est multilinéaire en les colonnes (ou lignes) séparément, pas en la matrice globale. Contre-exemple : $A=I_2$, $B=-I_2$, $\det(A+B)=\det(0)=0$ mais $\det(A)+\det(B)=1+1=2$.

Trouver l'inverse de $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ par la formule des cofacteurs.

$\det(A)=4-6=-2$.

Cofacteurs : $C_{11}=4$, $C_{12}=-3$, $C_{21}=-2$, $C_{22}=1$.

$\text{adj}(A)=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}\\C_{12}&C_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$.

$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}$.

Vrai ou faux : $\det(A^n)=(\det A)^n$.

Vrai. Par multiplicativité : $\det(A^n)=\det(A\cdot A\cdots A)=\det(A)^n$.

Calculer $\det\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{pmatrix}$ (déterminant de Vandermonde $3\times3$).

Déterminant de Vandermonde :
$C_2-aC_1$, $C_3-aC_1$ : $\det=\begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-a\\a^2&b^2-a^2&c^2-a^2\end{vmatrix}$
$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&0&0\\a&1&1\\a^2&b+a&c+a\end{vmatrix}$
$=(b-a)(c-a)[(c+a)-(b+a)]=(b-a)(c-a)(c-b)$.

Vrai ou faux : Si toutes les valeurs propres de $A$ sont non nulles, alors $A$ est inversible.

Vrai. $\det(A)=\prod_i \lambda_i$ (produit des valeurs propres). Si toutes les $\lambda_i\neq0$, alors $\det(A)\neq0$, donc $A$ est inversible.

Montrer que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

Sketch de preuve :

Cas A ou B non inversible : $\text{rang}(AB)\leq\min(\text{rang}A,\text{rang}B)<n$, donc $\det(AB)=0$. Et $\det(A)\det(B)=0$ car $\det(A)=0$ ou $\det(B)=0$.

Cas A,B inversibles : On montre que $\phi(A)=\det(AB)/\det(B)$ est une application vérifiant les 3 axiomes du déterminant en les colonnes de $A$, et $\phi(I)=\det(B)/\det(B)=1$. Par unicité du déterminant, $\phi(A)=\det(A)$. $\square$

Calculer $\det(A-\lambda I)$ pour $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ et trouver les valeurs propres.

$\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\0&3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda)$.

Valeurs propres : $(2-\lambda)(3-\lambda)=0 \Rightarrow \lambda_1=2, \lambda_2=3$.

Vrai ou faux : Si $A$ est une matrice $n\times n$ nilpotente ($A^k=0$ pour un certain $k$), alors $\det(A)=0$.

Vrai. $A^k=0 \Rightarrow \det(A^k)=\det(A)^k=0 \Rightarrow \det(A)=0$. Donc $A$ est non inversible. Cela est cohérent avec le fait que les matrices nilpotentes ont toutes leurs valeurs propres nulles.