Matrices et opérations

Calculer $AB$ avec $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

$B=I_2$ est la matrice identité. $AI_2=A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.

Vrai ou faux : Le produit de matrices est commutatif.

Faux. En général $AB\neq BA$. Par exemple $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}$ mais le produit inversé donne $\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}$.

Quelle est la trace de $A=\begin{pmatrix}3&1&0\\2&-1&4\\0&0&5\end{pmatrix}$ ?

$\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=3+(-1)+5=7$.

Vrai ou faux : $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.

Faux. $(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$. Comme $AB\neq BA$ en général, cela n'est pas égal à $A^2+2AB+B^2$.

Quelle est l'inverse de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ ?

$\det(A)=2-1=1$. Pour $2\times2$ : $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$. Vérification : $AA^{-1}=I_2$ ✓.

Calculer $\text{tr}(AB)$ si $A=(1,2,3)$ (ligne) et $B=(1,2,3)^T$ (colonne).

$A$ est $1\times3$, $B$ est $3\times1$. $AB=1\times1+2\times2+3\times3=1+4+9=14$. C'est une matrice $1\times1$, donc $\text{tr}(AB)=14$.

Alternativement : $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$. $BA$ est $3\times3$ avec $\text{tr}(BA)=\sum_{i}(BA)_{ii}=\sum_i b_i a_i=14$.

Vrai ou faux : Si $AB=0$ et $A\neq0$, alors $B=0$.

Faux. $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ : $AB=0$ mais $A,B\neq0$. Les matrices peuvent être des diviseurs de zéro.

Montrer que $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ pour $A\in\mathcal{M}_{m,n}$, $B\in\mathcal{M}_{n,m}$.

$\text{tr}(AB)=\sum_{i=1}^m(AB)_{ii}=\sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki}$.

On permute les sommes : $=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^m b_{ki}a_{ik}=\sum_{k=1}^n(BA)_{kk}=\text{tr}(BA)$. $\square$

Vrai ou faux : Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Vrai. C'est le théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée (valeurs propres réelles, vecteurs propres orthogonaux).

Calculer $A^{100}$ pour $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$.

Pour une matrice diagonale : $D^n=\text{diag}(d_1^n,\ldots,d_k^n)$. Donc $A^{100}=\begin{pmatrix}2^{100}&0\\0&3^{100}\end{pmatrix}$.

Montrer que si $A$ est inversible et $AB=AC$, alors $B=C$.

Preuve :
$AB=AC$
$\Rightarrow A^{-1}(AB)=A^{-1}(AC)$ (multiplier à gauche par $A^{-1}$)
$\Rightarrow (A^{-1}A)B=(A^{-1}A)C$
$\Rightarrow I_nB=I_nC$
$\Rightarrow B=C$. $\square$

Vrai ou faux : Si $A^2=I$, alors $A=I$ ou $A=-I$.

Faux. $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ vérifie $A^2=I$ mais $A\neq\pm I$. En fait $A^2=I\Leftrightarrow (A-I)(A+I)=0$, ce qui n'implique pas $A=\pm I$ dans l'algèbre non commutative des matrices.

Montrer que $\text{rang}(AB)\leq\min(\text{rang}(A),\text{rang}(B))$.

Preuve :
1. $\text{Im}(AB)=\{ABx:x\in\mathbb{R}^n\}\subset\{Ay:y\in\mathbb{R}^p\}=\text{Im}(A)$. Donc $\text{rang}(AB)\leq\text{rang}(A)$.
2. $\text{Im}(AB)=A(\text{Im}(B))$, image de $\text{Im}(B)$ par $A$. Donc $\text{rang}(AB)=\dim A(\text{Im}(B))\leq\dim\text{Im}(B)=\text{rang}(B)$. $\square$

Soit $P$ une matrice de projection ($P^2=P$). Quelles sont les valeurs propres possibles de $P$ ?

Si $Pv=\lambda v$ avec $v\neq0$, alors $P^2v=P(Pv)=P(\lambda v)=\lambda Pv=\lambda^2 v$. Mais $P^2=P$ donne $Pv=\lambda v$, donc $\lambda^2 v=\lambda v$, soit $\lambda(\lambda-1)v=0$. Comme $v\neq0$, $\lambda=0$ ou $\lambda=1$.

Vrai ou faux : Si $A$ et $B$ sont des matrices $n\times n$ avec $AB=I_n$, alors $BA=I_n$.

Vrai (pour des matrices carrées de même taille). $AB=I_n$ implique $A$ inversible et $B=A^{-1}$, donc $BA=I_n$. (En dimension infinie ce serait faux, mais pour matrices carrées $n\times n$ c'est vrai.)