Formes quadratiques

La forme quadratique $q(x,y)=x^2+4xy+4y^2$ est-elle définie positive ?

$q(x,y)=(x+2y)^2\geq0$. Mais $q(1,-1/2)=0$ avec $(1,-1/2)\neq0$. La forme est semi-définie positive (pas définie positive).

La matrice associée à $q(x,y)=2x^2+3xy+y^2$ est :

La matrice associée à $q$ est symétrique : $A_{ij}=\frac{1}{2}(\text{coeff de }x_ix_j)$ pour $i\neq j$. Ici $A=\begin{pmatrix}2&3/2\\3/2&1\end{pmatrix}$.

Vrai ou faux : La signature $(p,q)$ d'une forme quadratique est un invariant.

Vrai. C'est le théorème de Sylvester : la signature $(p,q)$ (nombre de carrés positifs moins nombre de carrés négatifs dans toute réduction de Gauss) est bien définie (ne dépend pas de la réduction choisie).

La forme $q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ est :

$q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2>0$ pour $(x,y,z)\neq0$. Définie positive. Matrice $=I_3$.

Vrai ou faux : Une forme quadratique définie positive correspond à une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.

Vrai. Par le théorème spectral, $A$ symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée. $q$ est définie positive ssi toutes les valeurs propres de $A$ sont $>0$.

Réduire $q(x,y)=x^2+2xy+3y^2$ sous forme canonique (méthode de Gauss).

Complétion du carré :
$q=x^2+2xy+3y^2=(x^2+2xy+y^2)+2y^2=(x+y)^2+2y^2$.

Changement de variable $u=x+y$, $v=y$ : $q=u^2+2v^2$.

Signature $(p,q)=(2,0)$ : forme définie positive.

Vrai ou faux : Toute matrice symétrique réelle admet une base orthonormée de vecteurs propres.

Vrai. C'est le théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée (les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux).

Déterminer la signature de $q(x,y,z)=x^2-y^2+z^2+2xz$.

$q=x^2+2xz+z^2-y^2=(x+z)^2-y^2$. Attention : on a $x^2+z^2+2xz=(x+z)^2$, donc $q=(x+z)^2-y^2$.

Signature : $(p,q_-) = (1,1)$, rang $2$. Forme indéfinie (prend valeurs $>0$ et $<0$).

Vrai ou faux : Pour $A$ symétrique, $q(x)=x^TAx$ est définie positive ssi tous les mineurs principaux sont $>0$.

Vrai. C'est le critère de Sylvester (ou critère des mineurs principaux successifs) : $A$ symétrique est définie positive ssi tous ses mineurs principaux $\Delta_k=\det(A_{1:k,1:k})>0$.

La forme $q(x,y)=x^2-4y^2$ est :

$q(1,0)=1>0$ et $q(0,1)=-4<0$. Prend des valeurs de signes opposés : indéfinie. Signature $(1,1)$.

Montrer que $q(x)=x^TAx$ est définie positive ssi $A$ est positive (toutes valeurs propres $>0$).

Preuve :
Par le théorème spectral, $A=P\text{diag}(\lambda_i)P^T$ avec $P$ orthogonale.

$q(x)=x^TAx=x^TP\text{diag}(\lambda_i)P^Tx=(P^Tx)^T\text{diag}(\lambda_i)(P^Tx)$.

Posons $y=P^Tx$ (bijectif car $P$ inversible) :
$q(x)=\sum_{i=1}^n\lambda_i y_i^2$.

$q(x)>0$ pour tout $x\neq0$ $\Leftrightarrow$ $\sum\lambda_i y_i^2>0$ pour tout $y\neq0$ $\Leftrightarrow$ tous les $\lambda_i>0$. $\square$

Vrai ou faux : Deux formes quadratiques de même signature sont équivalentes (i.e., l'une se déduit de l'autre par un changement de variable inversible).

Vrai. C'est le théorème de classification des formes quadratiques réelles : deux formes quadratiques réelles sont équivalentes ssi elles ont même rang et même signature.

Trouver les valeurs de $k$ pour lesquelles $q(x,y)=kx^2+2xy+y^2$ est définie positive.

Critère de Sylvester :
$A=\begin{pmatrix}k&1\\1&1\end{pmatrix}$.

$\Delta_1=k>0$.

$\Delta_2=\det(A)=k-1>0 \Rightarrow k>1$.

Donc $q$ est définie positive ssi $k>1$.

Montrer que $\langle x,y\rangle = x^TAy$ est un produit scalaire ssi $A$ est symétrique définie positive.

Preuve :

1. Symétrie : $\langle x,y\rangle = x^TAy$. Si $A=A^T$ : $\langle y,x\rangle = y^TAx = (x^TA^Ty)^T = x^TAy = \langle x,y\rangle$ ✓.

2. Bilinéarité : clairement linéaire en $x$ et $y$.

3. Définie positivité : $\langle x,x\rangle = x^TAx = q(x) > 0$ pour $x\neq0$ ssi $A$ est définie positive.

Donc $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire ssi $A$ est symétrique définie positive. $\square$

Vrai ou faux : Toute forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb{R}^n$ peut être diagonalisée (i.e., il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale).

Vrai. Par la méthode de Gauss (réduction en somme de carrés), toute forme quadratique réelle est équivalente à $\pm x_1^2\pm\cdots\pm x_r^2$, ce qui correspond à une matrice diagonale. (Ce n'est pas la diagonalisation orthogonale du théorème spectral, mais une diagonalisation par changement de base non nécessairement orthogonal.)