Polynôme caractéristique et diagonalisation

Calculer $\chi_A$ pour $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$.

$\chi_A(X)=\det(A-XI)=(3-X)^2$. Unique valeur propre $\lambda=3$ de multiplicité algébrique $2$.

Vrai ou faux : Une matrice $n\times n$ à $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Vrai. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. S'il y en a $n$ dans un espace de dimension $n$, ils forment une base de vecteurs propres.

La matrice $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$ est-elle diagonalisable ?

$E_3=\ker(A-3I)=\ker\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\text{Vect}\{(1,0)\}$, de dimension $1$. Mais multiplicité algébrique $=2\neq1=\dim E_3$. Non diagonalisable.

Quel est le polynôme minimal de $A=I_n$ (matrice identité) ?

$A-I=0$, donc $\mu_A$ divise $X-1$. Comme $\mu_A\neq1$ (pas le poly constant), $\mu_A=X-1$.

Vrai ou faux : $\mu_f$ divise $\chi_f$ (théorème de Cayley-Hamilton implique que $\chi_f(f)=0$).

Vrai. Cayley-Hamilton : $\chi_f(f)=0$, donc $\mu_f$ (le polynôme annulateur minimal) divise $\chi_f$.

Diagonaliser $A=\begin{pmatrix}5&-2\\3&0\end{pmatrix}$.

$\chi_A(X)=(5-X)(0-X)+6=X^2-5X+6=(X-2)(X-3)$. Valeurs propres $2$ et $3$.

$E_2=\ker(A-2I)=\ker\begin{pmatrix}3&-2\\3&-2\end{pmatrix}$: $3x-2y=0\Rightarrow v_1=(2,3)$.

$E_3=\ker(A-3I)=\ker\begin{pmatrix}2&-2\\3&-3\end{pmatrix}$: $x=y\Rightarrow v_2=(1,1)$.

$P=\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$, $P^{-1}AP=D$.

Vrai ou faux : Si $f$ est diagonalisable et $g$ est un polynôme, alors $g(f)$ est diagonalisable.

Vrai. Si $A=PDP^{-1}$, alors $g(A)=Pg(D)P^{-1}$ où $g(D)=\text{diag}(g(\lambda_i))$ est encore diagonale. Donc $g(A)$ est diagonalisable.

Pour $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, quel est $\chi_A$ et $A$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ?

$\chi_A(X)=X^2+1$. Discriminant $\Delta=-4<0$, pas de racine réelle.

$A$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (la rotation de $\pi/2$ n'a pas de vecteur propre réel).

Sur $\mathbb{C}$ : valeurs propres $\pm i$, diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$.

Vrai ou faux : Le polynôme minimal d'une matrice diagonale est $\prod_{i}(X-\lambda_i)$ (produit des facteurs distincts).

Vrai. Pour $D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, le polynôme $\prod_{\lambda\text{ distinct}}(X-\lambda)$ annule $D$ et est de degré minimal. C'est bien le polynôme minimal.

Calculer $A^{2025}$ pour $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}$.

$A$ est déjà diagonale. $A^n=\begin{pmatrix}2^n&0\\0&(-1)^n\end{pmatrix}$. Pour $n=2025$ (impair) : $A^{2025}=\begin{pmatrix}2^{2025}&0\\0&-1\end{pmatrix}$.

Montrer que si $AB=BA$ et $A$ diagonalisable à valeurs propres distinctes, alors les sous-espaces propres de $A$ sont stables par $B$.

Soit $v\in E_\lambda(A)$, i.e., $Av=\lambda v$.
$A(Bv)=B(Av)=B(\lambda v)=\lambda(Bv)$.
Donc $Bv\in E_\lambda(A)$ : $E_\lambda$ est stable par $B$.

Comme $A$ a des valeurs propres distinctes, $\dim E_\lambda=1$ pour chaque $\lambda$, donc $Bv=\mu_\lambda v$ pour un certain scalaire $\mu_\lambda$. Cela signifie que $B$ est diagonalisable dans la même base que $A$. $\square$

Vrai ou faux : Si $\chi_f=(X-\lambda_1)^{n_1}\cdots(X-\lambda_k)^{n_k}$ scindé, $f$ est diagonalisable ssi $\mu_f=(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_k)$.

Vrai. $f$ est diagonalisable ssi $\mu_f$ est scindé à racines simples, i.e., $\mu_f=\prod_{i}(X-\lambda_i)$ (produit des facteurs linéaires sans répétition).

Calculer $e^A$ pour $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$.

$A$ est diagonale, donc $e^A=\text{diag}(e^{\lambda_1},\ldots,e^{\lambda_n})=\begin{pmatrix}e^1&0\\0&e^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e&0\\0&e^2\end{pmatrix}$.

Vrai ou faux : Le polynôme caractéristique de $A$ et $A^T$ sont les mêmes.

$\chi_{A^T}(X)=\det(A^T-XI)=\det((A-XI)^T)=\det(A-XI)=\chi_A(X)$. (En utilisant $\det(M^T)=\det(M)$.)

Montrer que si $f^2=f$ (projecteur), alors $f$ est diagonalisable.

$f^2=f \Rightarrow f^2-f=0 \Rightarrow f(f-\text{Id})=0$.

Donc le polynôme $P(X)=X(X-1)$ annule $f$, et $\mu_f$ divise $P$.

$P=X(X-1)$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$.

Donc $\mu_f$ est scindé à racines simples, ce qui implique que $f$ est diagonalisable. $\square$