Trigonalisation et réduction de Jordan

Vrai ou faux : Toute matrice carrée complexe est trigonalisable.

Vrai. Sur $\mathbb{C}$, tout polynôme de degré $\geq1$ se factorise (théorème d'Alembert-Gauss). Donc $\chi_f$ est scindé sur $\mathbb{C}$, et $f$ est trigonalisable.

Quel est l'indice de nilpotence de $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ ?

$N^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=0$ mais $N\neq0$. L'indice de nilpotence est $2$.

Vrai ou faux : Toute matrice nilpotente est semblable à une matrice de Jordan dont tous les blocs ont $\lambda=0$.

Vrai. Une matrice nilpotente n'a que $0$ comme valeur propre. Sa forme de Jordan ne contient que des blocs $J_k(0)$.

Pour $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$, quelle est sa forme de Jordan ?

$A$ est déjà sous forme de Jordan : un bloc $J_2(2)$. Elle n'est pas diagonalisable ($E_2$ est de dimension $1$).

Vrai ou faux : La décomposition de Dunford $f=d+n$ est unique.

Vrai. La décomposition de Dunford $f=d+n$ avec $d$ diagonalisable, $n$ nilpotente, $dn=nd$ est unique. C'est le contenu du théorème de décomposition de Dunford.

Calculer $J_2(\lambda)^n$ pour le bloc de Jordan $2\times2$.

$J_2(\lambda)=\lambda I+N$ où $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $N^2=0$.

Par le binôme (avec $\lambda I$ et $N$ qui commutent) :
$J_2(\lambda)^n=(\lambda I+N)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\lambda^{n-k}N^k=\lambda^n I+n\lambda^{n-1}N$
$=\begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}$.

Vrai ou faux : Si $\chi_f=(X-\lambda)^n$, alors $f$ est semblable à $J_n(\lambda)$ (un seul bloc).

Faux. Par exemple, $f=\lambda\text{Id}$ a $\chi_f=(X-\lambda)^n$ mais est semblable à $\lambda I_n$ (matrice diagonale, $n$ blocs $J_1(\lambda)$).

Déterminer la forme de Jordan de $A$ avec $\chi_A=(X-2)^3$ et $\dim E_2=1$.

Multiplicité algébrique $3$, multiplicité géométrique $1$ (un seul bloc). La forme de Jordan est un seul bloc $J_3(2)$.

Vrai ou faux : La forme de Jordan de $A$ est unique à l'ordre des blocs près.

Vrai. La forme de Jordan d'une matrice est unique à permutation des blocs diagonaux près. C'est un invariant complet de la similitude.

Déterminer la forme de Jordan si $\chi_A=(X-1)^2(X-2)^2$, $\dim E_1=1$, $\dim E_2=2$.

Pour $\lambda=1$: mult. alg.$=2$, mult. géom.$=1$ → un bloc $J_2(1)$. Pour $\lambda=2$: mult. alg.$=2$, mult. géom.$=2$ → deux blocs $J_1(2)$. Forme : $J_2(1)\oplus J_1(2)\oplus J_1(2)$.

Calculer $e^{J_2(\lambda)}$ pour un bloc de Jordan $2\times2$.

$J_2(\lambda)=\lambda I+N$ avec $N^2=0$.

$e^{J_2(\lambda)}=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda I}e^N$ (car $\lambda I$ et $N$ commutent)
$=e^\lambda\left(I+N+\frac{N^2}{2!}+\cdots\right)=e^\lambda(I+N)=e^\lambda\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

Vrai ou faux : Deux matrices avec le même polynôme caractéristique sont semblables.

Faux. $I_2$ et $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ont toutes deux $\chi=(X-1)^2$ mais ne sont pas semblables (l'une est diagonale, l'autre ne l'est pas). La forme de Jordan complète (pas seulement $\chi$) caractérise la classe de similitude.

Montrer que toute matrice nilpotente $N$ satisfait $N^n=0$ (où $n$ est la taille de la matrice).

Preuve :
Sur $\mathbb{C}$, $N$ est semblable à sa forme de Jordan dont tous les blocs sont $J_k(0)$.

Pour un bloc $J_k(0)$ de taille $k\leq n$ : $(J_k(0))^k=0$ (par calcul direct : $N_k^k=0$ pour la matrice nilpotente $k\times k$ standard).

Donc $N^n=PJ^nP^{-1}=0$ (chaque bloc $J_k(0)^n=0$ car $k\leq n$). $\square$

Vrai ou faux : Si $f$ est trigonalisable avec valeurs propres $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ (avec répétition), alors $\text{tr}(f)=\sum\lambda_i$ et $\det(f)=\prod\lambda_i$.

Vrai. Si $f$ est semblable à une matrice triangulaire $T$ avec $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sur la diagonale : $\text{tr}(f)=\text{tr}(T)=\sum\lambda_i$ et $\det(f)=\det(T)=\prod\lambda_i$.

Comment retrouver le polynôme minimal à partir de la forme de Jordan ?

Règle : Le polynôme minimal $\mu_f=\text{ppcm}_{\text{blocs}}\mu_{\text{bloc}}$.

Pour un bloc $J_k(\lambda)$, $\mu_{J_k(\lambda)}=(X-\lambda)^k$.

Donc $\mu_f=\prod_{\lambda\text{ vp}}(X-\lambda)^{m_\lambda}$ où $m_\lambda$ est la taille du plus grand bloc de Jordan pour $\lambda$. $\square$