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Licence 1 · Algèbre linéaire

Applications linéaires

Applications linéaires

Définition

Une application f:E→Ff : E \to F entre deux espaces vectoriels est linéaire si :

∀u,v∈E, ∀λ∈R:f(u+λv)=f(u)+λf(v)\forall u, v \in E,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} : f(u + \lambda v) = f(u) + \lambda f(v)

Noyau et image

ker⁡(f)={u∈E∣f(u)=0F}Im(f)={f(u)∣u∈E}\ker(f) = \{u \in E \mid f(u) = 0_F\} \qquad \text{Im}(f) = \{f(u) \mid u \in E\}

Ces deux ensembles sont des sous-espaces vectoriels.

Théorème du rang

dim⁡(ker⁡f)+dim⁡(Imf)=dim⁡(E)\dim(\ker f) + \dim(\text{Im} f) = \dim(E)

Autrement dit : nullité + rang = dimension.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si f:R3→R2f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 est linéaire et dim⁡(ker⁡f)=1\dim(\ker f) = 1, que vaut rang(f)\text{rang}(f) ?

Corrigé

Par le théorème du rang : rang(f)=dim⁡(E)−dim⁡(ker⁡f)=3−1=2\text{rang}(f) = \dim(E) - \dim(\ker f) = 3 - 1 = 2.

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