Espaces vectoriels

Définition

Un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ est un ensemble $E$ muni de deux lois :
- Addition : $E \times E \to E$ , $(u, v) \mapsto u + v$
- Multiplication scalaire : $\mathbb{R} \times E \to E$ , $(\lambda, v) \mapsto \lambda v$

vérifiant 8 axiomes (associativité, commutativité, élément neutre, opposé, distributivité...).

Exemples fondamentaux

- $\mathbb{R}^n$ : vecteurs colonnes à $n$ composantes réelles
- $\mathbb{R}[X]_n$ : polynômes de degré $\leq n$
- $\mathcal{C}([a, b])$ : fonctions continues sur $[a, b]$
- $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ : matrices à $m$ lignes et $n$ colonnes

Sous-espace vectoriel

$F \subseteq E$ est un sous-espace vectoriel si :
1. $0_E \in F$
2. $\forall u, v \in F,\ u + v \in F$
3. $\forall \lambda \in \mathbb{R},\ \forall u \in F,\ \lambda u \in F$

Exercices de la leçon

Exercice 1

L'ensemble $F = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 0\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ ?

Corrigé

1. $(0,0)$ vérifie $0+0=0$ ✓. 2. Si $x_1+y_1=0$ et $x_2+y_2=0$ , alors $(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=0$ ✓. 3. $\lambda(x+y) = \lambda \cdot 0 = 0$ ✓. Donc $F$ est un s.e.v. (c'est une droite vectorielle).

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