Algorithme de recherche d'un seuil

Introduction

On combine maintenant deux notions : la boucle « tant que » et les suites de nombres vues en 4ème (variable accumulatrice qui augmente régulièrement). On cherche à déterminer le premier terme d'une suite qui dépasse un seuil donné.

Principe de l'algorithme

📌 Méthode

1. Initialiser une variable accumulatrice avec le premier terme de la suite (ex : $u \leftarrow u_0$).

2. Initialiser un compteur de rang si besoin (ex : $n \leftarrow 0$).

3. Tant que $u$ ne dépasse pas le seuil, augmenter $u$ de la raison $r$ (et augmenter $n$ de $1$ si on suit le rang).

4. Dès que la condition devient fausse (le seuil est dépassé), la boucle s'arrête : $u$ contient alors le premier terme dépassant le seuil.

Ce principe fait le lien direct avec la formule vue en 4ème pour une suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \times r$. L'algorithme « tant que » permet de trouver $n$ sans avoir à résoudre une inéquation à la main.

Structure générale

$u$ prend la valeur $u_0$

$n$ prend la valeur $0$

tant que $u \leq \text{seuil}$ faire :

$\quad$ $u$ prend la valeur $u + r$

$\quad$ $n$ prend la valeur $n + 1$

fin tant que

afficher $n$ et $u$

Exemples

✅ Exemple simple — Suite de raison $5$, seuil $20$

Suite : $u_0=0$, raison $r=5$. On veut le premier terme $>20$.

Déroulement de $u$ : $0 \to 5 \to 10 \to 15 \to 20 \to 25$.

Dès que $u=25$, la condition $u \leq 20$ devient fausse : on s'arrête. Le premier terme dépassant $20$ est $25$ (c'est le terme de rang $n=5$).

📘 Exemple intermédiaire — Lien avec la formule des suites arithmétiques

Suite arithmétique $u_0=3$, raison $r=4$ : $u_n = 3+4n$. On cherche le premier rang $n$ tel que $u_n > 50$.

Avec l'algorithme : $u$ passe par $3,7,11,...$ en ajoutant $4$ à chaque tour, jusqu'à dépasser $50$.

On peut vérifier par le calcul : $3+4n>50 \implies 4n>47 \implies n>11{,}75$, donc le premier rang entier est $n=12$, et $u_{12}=3+4\times12=51$. L'algorithme, en testant terme par terme, retrouve exactement ce résultat : $51$.

🔴 Exemple avancé — Compter le nombre de tours nécessaires

Une suite commence à $u_0=100$ avec une raison $r=-7$ (elle diminue). On veut savoir après combien de tours $u$ devient strictement négatif.

Déroulement : $100,93,86,79,72,...$ On continue tant que $u \geq 0$.

En résolvant $100-7n<0 \implies n>\frac{100}{7}\approx14{,}3$, donc à partir de $n=15$, $u_{15}=100-7\times15=100-105=-5$ : c'est la première valeur négative, obtenue après $15$ tours de boucle.

À retenir

- Une boucle « tant que » permet de trouver le premier terme d'une suite qui dépasse (ou descend sous) un seuil, sans connaître ce rang à l'avance.
- On combine une variable accumulatrice (qui suit la valeur du terme) avec un compteur de rang si l'on veut aussi connaître $n$.
- Ce principe est directement relié à la formule des suites arithmétiques $u_n = u_0+n\times r$ vue en 4ème : l'algorithme donne le même résultat que la résolution d'une inéquation, mais de façon automatisée.