Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

La fonction $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ est-elle continue en $x=2$ ?

$f$ n'est pas définie en $x=2$ car le dénominateur s'annule. La limite vaut $\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$. On peut prolonger $f$ par continuité en posant $f(2)=4$, mais dans l'état $f$ n'est pas continue en $2$.

Vrai ou faux : Tout polynôme est continu sur $\mathbb{R}$.

Vrai. Les fonctions constantes et l'identité $x\mapsto x$ sont continues. Par stabilité par somme et produit, tout polynôme est continu sur $\mathbb{R}$.

Soit $f(x)=x^2-3x+1$ sur $[0,3]$. Le TVI garantit l'existence d'un $c$ avec $f(c)=0$. Que vaut $f(0)\cdot f(3)$ ?

$f(0)=1$ et $f(3)=9-9+1=1$. Oups : $f(3)=1>0$. Le produit vaut $1>0$, le TVI ne s'applique pas directement. Cherchons : $f(1)=1-3+1=-1<0$. Donc $f(0)\cdot f(1)=1\times(-1)=-1<0$, ce qui garantit une racine dans $]0,1[$. La réponse à la question telle que posée (sur $[0,1]$) est $-1$.

Vrai ou faux : Si $f$ est continue sur $]a,b[$ (ouvert), elle est bornée.

Faux. La fonction $f(x)=1/x$ est continue sur $]0,1[$ mais non bornée (elle tend vers $+\infty$ en $0$). Le théorème des valeurs extrêmes requiert un segment fermé et borné $[a,b]$.

Quelle valeur de $k$ rend $f$ continue en $0$ avec $f(x)=\frac{\sin(3x)}{x}$ pour $x\neq 0$ et $f(0)=k$ ?

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3\times 1 = 3$. Pour que $f$ soit continue en $0$, il faut $k=3$.

Montrer que $f(x)=x^3+x-1$ a au moins une racine réelle.

Solution :

$f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.

$f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$

$f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$

Comme $f(0) < 0 < f(1)$ et $f$ est continue sur $[0,1]$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un $c \in ]0,1[$ tel que $f(c) = 0$.

La fonction $f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 2x-1 & x \geq 1 \end{cases}$ est-elle continue en $1$ ?

$\lim_{x\to 1^-} x^2 = 1$ et $\lim_{x\to 1^+}(2x-1) = 1$. De plus $f(1) = 2(1)-1 = 1$. Les limites à gauche et à droite coïncident avec $f(1)$, donc $f$ est continue en $1$.

Vrai ou faux : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et injective, alors $f$ est strictement monotone.

Vrai. C'est un théorème classique : une fonction continue et injective sur un intervalle est nécessairement strictement monotone (conséquence du TVI — si $f$ n'était pas monotone, on pourrait construire deux antécédents distincts pour une même valeur).

Combien de solutions réelles possède $x = \cos x$ ?

Posons $g(x)=x-\cos x$. $g(0)=-1<0$ et $g(\pi/2)=\pi/2>0$, donc il existe au moins une solution dans $]0,\pi/2[$. De plus $g'(x)=1+\sin x \geq 0$ avec égalité ponctuelle, donc $g$ est strictement croissante, garantissant l'unicité.

Vrai ou faux : La fonction $f(x)=\sin(1/x)$ est uniformément continue sur $]0,1]$.

Faux. $f$ oscille infiniment vite près de $0$ : pour $x_n = 1/(n\pi)$ et $y_n=1/((n+1/2)\pi)$, $|x_n-y_n|\to 0$ mais $|f(x_n)-f(y_n)|=1$. Elle n'est donc pas uniformément continue sur $]0,1]$.

Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ continue. Montrer que $f$ a un point fixe.

Solution :

Définissons $g(x) = f(x) - x$ sur $[0,1]$. $g$ est continue (différence de fonctions continues).

$g(0) = f(0) - 0 = f(0) \geq 0$ (car $f(0)\in[0,1]$).

$g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ (car $f(1)\in[0,1]$).

Si $g(0)=0$, alors $0$ est un point fixe. Si $g(1)=0$, alors $1$ est un point fixe. Sinon $g(0)>0$ et $g(1)<0$, et par le TVI il existe $c\in]0,1[$ tel que $g(c)=0$, i.e., $f(c)=c$. $\square$

Vrai ou faux : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Vrai. C'est une conséquence directe du TVI : si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $y_1,y_2\in f(I)$ avec $y_1<y_2$, alors tout $k\in[y_1,y_2]$ est aussi dans $f(I)$. Donc $f(I)$ est un intervalle.

Soit $f$ continue sur $[a,b]$ avec $f(a)=b$ et $f(b)=a$. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ avec $f(c)=c$.

Solution :

Soit $g(x) = f(x) - x$, continue sur $[a,b]$.

$g(a) = f(a) - a = b - a \geq 0$ (puisque $b \geq a$).

$g(b) = f(b) - b = a - b \leq 0$.

Par le TVI, il existe $c \in [a,b]$ tel que $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c) = c$. $\square$

Quelle est la valeur de $\lim_{n\to\infty} n\sin(1/n)$ ?

On pose $x=1/n\to 0^+$. Alors $n\sin(1/n) = \frac{\sin(1/n)}{1/n} = \frac{\sin x}{x} \to 1$ par la limite fondamentale $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$.

Vrai ou faux : Si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$, alors $f$ est bornée et atteint son maximum.

Vrai. Comme les limites en $\pm\infty$ valent $0$, pour $\varepsilon=1$ il existe $A>0$ tel que $|f(x)|<1$ pour $|x|>A$. Sur le compact $[-A,A]$, $f$ est continue donc bornée et atteint ses bornes. Le maximum global est donc atteint.