Dérivabilité et règles de dérivation

Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 4x + 2$ ?

Par linéarité et la règle $d/dx(x^n)=nx^{n-1}$ : $(x^3)' = 3x^2$, $(-4x)' = -4$, $(2)'=0$. Donc $f'(x) = 3x^2 - 4$.

Quelle est la dérivée de $g(x) = e^{2x}$ ?

Par la règle de la chaîne : $(e^{u})' = u' e^u$ avec $u=2x$, $u'=2$. Donc $g'(x) = 2e^{2x}$.

Vrai ou faux : La fonction $f(x)=|x|$ est dérivable en $0$.

Faux. Le taux d'accroissement à droite vaut $\lim_{h\to 0^+}|h|/h=1$ et à gauche $\lim_{h\to 0^-}|h|/h=-1$. Ces limites sont différentes, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ (point anguleux).

Dériver $h(x) = \sin(x^2)$.

Règle de la chaîne : $h'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$.

Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(3x+1)$ sur son domaine ?

$(\ln u)' = u'/u$ avec $u=3x+1$, $u'=3$. Donc $f'(x) = 3/(3x+1)$.

Dériver $f(x) = x e^x$.

Règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u=x, u'=1, v=e^x, v'=e^x$ : $f'(x) = 1\cdot e^x + x\cdot e^x = (1+x)e^x$.

Dériver $g(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$.

Règle du quotient $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ avec $u=x^2+1, u'=2x, v=x-1, v'=1$ : $g'=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$.

En appliquant le théorème de Rolle à $f(x)=x^2-4$ sur $[-2,2]$, quel est le $c$ garanti ?

$f(-2)=0=f(2)$, $f$ est continue et dérivable. Rolle garantit un $c$ avec $f'(c)=0$. $f'(x)=2x=0 \Rightarrow x=0$. Donc $c=0\in]-2,2[$.

Calculer la dérivée de $f(x) = \arctan(x)$.

Par la formule de la dérivée d'une réciproque : si $\tan(y)=x$, alors $(\arctan)'(x) = 1/\tan'(y) = 1/(1+\tan^2 y) = 1/(1+x^2)$.

Vrai ou faux : Si $f'(a)=0$, alors $f$ admet un extremum en $a$.

Faux. $f(x)=x^3$ vérifie $f'(0)=0$ mais $0$ est un point d'inflexion, pas un extremum. Un extremum implique $f'=0$ (condition nécessaire), mais la réciproque est fausse.

Démontrer l'inégalité $|e^x - 1| \leq |x|e^{|x|}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

Application du TAF :

Soit $f(t) = e^t$. $f$ est continue sur $[0,x]$ (ou $[x,0]$) et dérivable, avec $f'(t)=e^t$.

Par le TAF : il existe $c$ entre $0$ et $x$ tel que $e^x - e^0 = e^c(x-0)$, soit $e^x - 1 = xe^c$.

Donc $|e^x-1| = |x|\cdot e^c$. Puisque $c$ est entre $0$ et $x$, on a $c \leq |x|$, donc $e^c \leq e^{|x|}$.

Conclusion : $|e^x - 1| \leq |x| e^{|x|}$. $\square$

Calculer $(fg)''$ en termes de $f,g$ et leurs dérivées.

$(fg)' = f'g + fg'$. On dérive à nouveau : $(fg)'' = (f'g+fg')' = f''g + f'g' + f'g' + fg'' = f''g + 2f'g' + fg''$. C'est la formule de Leibniz pour $n=2$ : $\binom{2}{0}f^{(0)}g^{(2)}+\binom{2}{1}f^{(1)}g^{(1)}+\binom{2}{2}f^{(2)}g^{(0)}$.

Montrer que si $f''>0$ sur $]a,b[$, alors $f$ est convexe sur $]a,b[$.

Preuve :

Soient $x_1 < x_2$ dans $]a,b[$ et $t\in[0,1]$. Posons $x = (1-t)x_1+tx_2$.

Par le TAF appliqué sur $[x_1,x]$ : $f(x)-f(x_1) = f'(c_1)(x-x_1)$ pour $c_1\in]x_1,x[$.
Sur $[x,x_2]$ : $f(x_2)-f(x) = f'(c_2)(x_2-x)$ pour $c_2\in]x,x_2[$.

Comme $c_1 < c_2$ et $f''>0$ (donc $f'$ croissante), $f'(c_1)\leq f'(c_2)$.

On calcule $(1-t)f(x_1)+tf(x_2)-f(x)$ et on montre que c'est $\geq 0$ grâce à cette inégalité. $\square$

Quelle est la dérivée $n$-ième de $f(x) = e^x$ ?

$f'=e^x$, $f''=e^x$, etc. Par récurrence : $f^{(n)}=e^x$ pour tout $n\geq 0$. L'exponentielle est son propre dérivé d'ordre $n$.

Vrai ou faux : Si $f$ est dérivable sur $]a,b[$ et $f'$ bornée, alors $f$ est uniformément continue sur $]a,b[$.

Vrai. Si $|f'|\leq M$, l'inégalité des accroissements finis donne $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$ pour tous $x,y\in]a,b[$. On dit que $f$ est $M$-lipschitzienne, ce qui implique la continuité uniforme (il suffit de prendre $\delta=\varepsilon/M$).