Suites numériques

Suites numériques

### 1. Définitions de base

Une suite numérique est une application $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ (ou définie à partir d'un certain rang $n_0$). On note $u_n = u(n)$ le terme général, et la suite elle-même $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Une suite peut être définie :
- explicitement : $u_n = f(n)$ pour une fonction $f$ donnée (ex : $u_n = \dfrac{1}{n+1}$) ;
- par récurrence : $u_0$ donné et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour une fonction $f$ donnée.

Suite majorée / minorée / bornée : $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ; bornée si elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à $\exists K \geq 0,\; \forall n,\; |u_n| \leq K$.

Suite croissante / décroissante : $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ ; monotone si elle est croissante ou décroissante.

### 2. Convergence : définition formelle

On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$, et on note $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$, si :

Autrement dit, tout intervalle ouvert centré en $\ell$, même très petit, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Une suite qui ne converge vers aucun réel est dite divergente (elle peut tendre vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou n'avoir aucune limite, comme $u_n = (-1)^n$).

Unicité de la limite : si une suite converge, sa limite est unique.

Suite convergente $\Rightarrow$ suite bornée : toute suite convergente est bornée (la réciproque est fausse : $u_n = (-1)^n$ est bornée mais ne converge pas).

Divergence vers $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ si $\forall M > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall n \geq N,\; u_n > M$.

### 3. Opérations sur les limites

Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = \ell'$ (limites finies), alors :

| Opération | Résultat |
|-----------|----------|
| $u_n + v_n$ | $\ell + \ell'$ |
| $u_n \cdot v_n$ | $\ell \cdot \ell'$ |
| $u_n / v_n$ (si $\ell' \neq 0$) | $\ell / \ell'$ |

Les formes indéterminées $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{0}{0}$ se traitent comme pour les fonctions (factorisation par le terme dominant, quantité conjuguée, etc.).

### 4. Théorème des gendarmes pour les suites

Énoncé : Si $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ vérifient $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d'un certain rang, et si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = \displaystyle\lim_{n\to+\infty} w_n = \ell$, alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell$.

Exemple résolu : Montrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0$.

Pour $n \geq 1$, on a $-1 \leq \sin n \leq 1$, donc en divisant par $n > 0$ : $-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$. Comme $\dfrac{1}{n} \to 0$ et $-\dfrac{1}{n} \to 0$, le théorème des gendarmes donne $\dfrac{\sin n}{n} \to 0$.

### 5. Suites monotones bornées

Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante et majorée converge (vers $\ell = \sup\{u_n, n \in \mathbb{N}\}$). Toute suite décroissante et minorée converge.

Plus généralement : toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$, toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

Exemple résolu : Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{2}$. Montrons que $(u_n)$ converge.

Monotonie : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n+2}{2} - u_n = \dfrac{2 - u_n}{2}$. On montre par récurrence que $u_n \leq 2$ pour tout $n$ : c'est vrai pour $n=0$ ($u_0 = 1 \leq 2$) ; si $u_n \leq 2$, alors $u_{n+1} = \dfrac{u_n+2}{2} \leq \dfrac{2+2}{2} = 2$. Donc $u_n \leq 2$ pour tout $n$, d'où $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2-u_n}{2} \geq 0$ : la suite est croissante.

Majoration : on vient de montrer $u_n \leq 2$.

Par le théorème de la limite monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \leq 2$.

### 6. Théorème des suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si : $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante, et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} (v_n - u_n) = 0$.

Théorème : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite $\ell$, et l'on a l'encadrement $u_n \leq \ell \leq v_n$ pour tout $n$.

Exemple classique : $u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \dfrac{1}{n \cdot n!}$ sont adjacentes et convergent vers $e$.

### 7. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ ($r$ = raison). Terme général : $u_n = u_0 + nr$. Somme des $n+1$ premiers termes : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}$.

Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ ($q$ = raison, $q \neq 0$). Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$. Pour $q \neq 1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Convergence d'une suite géométrique : si $|q| < 1$, $u_n \to 0$ ; si $q = 1$, $u_n$ est constante ; si $q > 1$, $u_n \to +\infty$ (pour $u_0 > 0$) ; si $q \leq -1$, $(u_n)$ diverge sans limite.

Suite arithmético-géométrique : $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \neq 1$. On cherche le point fixe $\ell$ de $f(x) = ax+b$, c'est-à-dire $\ell = a\ell + b$, soit $\ell = \dfrac{b}{1-a}$. On pose $v_n = u_n - \ell$ ; alors $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = au_n + b - \ell = a(u_n - \ell) = a v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ : $v_n = v_0 \cdot a^n$, d'où :

Exemple résolu : $u_0 = 5$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + 3$. Point fixe : $\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 3 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\ell = 3 \Rightarrow \ell = 6$. Donc $u_n = 6 + (5-6)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 6 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, et $u_n \to 6$.

### 8. Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$

Pour étudier une suite définie par $u_0$ donné et $u_{n+1} = f(u_n)$ :

1. Stabilité d'un intervalle : trouver un intervalle $I$ tel que $u_0 \in I$ et $f(I) \subset I$ ; on montre alors par récurrence que $u_n \in I$ pour tout $n$.
2. Monotonie : si $f$ est croissante sur $I$, $(u_n)$ est monotone, et son sens dépend du signe de $u_1 - u_0$ (si $u_1 \geq u_0$, $(u_n)$ croît ; sinon décroît). Si $f$ est décroissante, on étudie séparément les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$, qui sont monotones de sens opposés.
3. Recherche de limite : si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et que $f$ est continue, alors $\ell$ est point fixe de $f$, c'est-à-dire $f(\ell) = \ell$. On résout cette équation pour identifier les candidats, puis on conclut grâce à l'encadrement obtenu en 1.

Exemple résolu : $u_0 = 0$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. Posons $f(x) = \sqrt{x+2}$, définie et croissante sur $[-2, +\infty[$.

Intervalle stable : montrons $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$ par récurrence. Initialisation : $u_0 = 0 \in [0,2]$. Hérédité : si $0 \leq u_n \leq 2$, alors $2 \leq u_n + 2 \leq 4$, donc $\sqrt 2 \leq u_{n+1} \leq 2$, en particulier $0 \leq u_{n+1} \leq 2$.

Monotonie : $u_1 = \sqrt{0+2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 > u_0 = 0$. Comme $f$ est croissante, $u_1 \geq u_0 \Rightarrow u_2 = f(u_1) \geq f(u_0) = u_1$, et par récurrence $(u_n)$ est croissante.

Convergence : $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc converge vers une limite $\ell \in [0,2]$. Comme $f$ est continue, $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$, c'est-à-dire $\sqrt{\ell+2} = \ell$, soit $\ell^2 = \ell + 2$ (avec $\ell \geq 0$), donc $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, qui se factorise $(\ell-2)(\ell+1)=0$. Comme $\ell \geq 0$, on a $\ell = 2$.

### 9. Comparaison de suites : suites équivalentes et croissances comparées

Suites équivalentes : $(u_n) \sim (v_n)$ si $u_n = v_n \cdot (1 + \varepsilon_n)$ avec $\varepsilon_n \to 0$, ce qui équivaut (lorsque $v_n \neq 0$) à $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1$. Deux suites équivalentes ont le même comportement asymptotique (signe, limite éventuelle).

Règle pratique : pour un polynôme ou une somme de termes, le terme de plus haut degré (ou le terme dominant) donne un équivalent : $3n^2 - 5n + 1 \sim 3n^2$ quand $n \to +\infty$.

Croissances comparées (rappel) : pour tout $\alpha > 0$ et tout $a > 1$ :

On retient l'ordre de domination : $\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n$ (pour $\alpha>0$, $a>1$).

Exemple résolu : Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^{10} + 2^n}{n!}$.

On sait que $\dfrac{2^n}{n!} \to 0$ et $\dfrac{n^{10}}{n!} \to 0$ (puisque $n^{10} \ll a^n \ll n!$). La suite est somme de deux termes tendant chacun vers $0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^{10}+2^n}{n!} = 0$.