Équations différentielles du 1er ordre

Résoudre $y' = 3y$.

$y'/y=3$, $\ln|y|=3x+K$, $y=Ce^{3x}$ (équation homogène, solution classique).

Vrai ou faux : La solution de $y'=y$, $y(0)=2$ est $y=2e^x$.

$y=Ce^x$, $y(0)=C=2$. Donc $y=2e^x$. Vérification : $y'=2e^x=y$ ✓.

Résoudre $y'=x$ (ED immédiate).

$y=\int x\,dx=x^2/2+C$.

Quelle est la nature de $y'=f(x)g(y)$ ?

$y'=f(x)g(y)$ est une équation à variables séparables : on peut écrire $dy/g(y)=f(x)dx$ et intégrer.

Vrai ou faux : L'équation $y'+p(x)y=0$ est une ED linéaire homogène.

Vrai. $y'+p(x)y=0$ est linéaire (en $y,y'$) et le second membre est nul, donc homogène. Sa solution est $y=Ce^{-P(x)}$.

Résoudre $y'-y=e^x$.

Résolution :

$p(x)=-1$, $P(x)=-x$. Solution homogène : $y_H=Ce^x$.

Variation de la constante : $y=C(x)e^x$.
$y'=C'(x)e^x+C(x)e^x$.
Substituer : $C'e^x+Ce^x-Ce^x=e^x$, donc $C'(x)=1$, $C(x)=x+K$.

Solution générale : $y=(x+K)e^x$.

Résoudre $y'=\frac{x}{y}$ (séparable) avec $y(0)=1$.

Variables séparables :
$y\,dy=x\,dx \Rightarrow \frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C \Rightarrow y^2-x^2=2C=K$.

C.I. $y(0)=1$ : $1-0=K$, $K=1$.

$y^2=1+x^2 \Rightarrow y=\sqrt{1+x^2}$ (prendre la racine positive car $y(0)=1>0$).

Vrai ou faux : L'ensemble des solutions de $y'+p(x)y=q(x)$ est un espace affine de dimension $1$.

Vrai. L'ensemble des solutions est $y_p+\{Ce^{-P(x)},C\in\mathbb{R}\}$ où $y_p$ est une solution particulière. C'est une variété affine de dimension $1$ (translaté de l'espace de solutions de l'ED homogène, de dimension $1$).

Résoudre $y'=y^2$, $y(0)=y_0>0$. En quel point explose-t-elle ?

Séparable : $dy/y^2=dx \Rightarrow -1/y=x+C$.

$y(0)=y_0>0$ : $-1/y_0=C$.

$y=\frac{1}{1/y_0-x}$, définie sur $]-\infty,1/y_0[$.

Explosion en $x=1/y_0$ (temps de vie fini).

Quelle est la solution particulière de $y'+2y=4x$ de la forme $ax+b$ ?

$y_p=ax+b$, $y_p'=a$. Substituer : $a+2(ax+b)=4x$. $2ax=4x\Rightarrow a=2$. $a+2b=0\Rightarrow2+2b=0\Rightarrow b=-1$. Donc $y_p=2x-1$.

Énoncer et prouver le théorème de Cauchy-Lipschitz pour les ED linéaires $y'+p(x)y=q(x)$.

Théorème : Si $p,q$ sont continues sur $I$ et $x_0\in I$, $y_0\in\mathbb{R}$, alors le problème de Cauchy $y'+p(x)y=q(x)$, $y(x_0)=y_0$ admet une unique solution sur $I$ entier.

Preuve : La formule explicite $y(x)=e^{-P(x)}\left(y_0e^{P(x_0)}+\int_{x_0}^x q(t)e^{P(t)}dt\right)$ (où $P(x)=\int_{x_0}^x p(t)dt$) fournit une solution. Elle est unique car deux solutions vérifient la même formule. $\square$

Vrai ou faux : L'équation $y'=y^{1/3}$ avec $y(0)=0$ admet une unique solution.

Faux. $f(y)=y^{1/3}$ n'est pas lipschitzienne en $y=0$. Le problème n'a pas unicité : $y=0$ et $y=\pm(2x/3)^{3/2}$ (pour $x\geq0$) sont deux familles de solutions. C'est un contre-exemple à l'unicité quand Lipschitz n'est pas satisfaite.

Résoudre l'ED de Bernoulli $y'-y=xy^2$.

ED de Bernoulli ($n=2$) : On pose $z=y^{1-2}=y^{-1}=1/y$.
$z'=-y'/y^2$. De $y'=y+xy^2$ : $z'=-y^{-2}y=-y^{-1}-x=-z-x$.

ED linéaire en $z$ : $z'+z=-x$.

$P(x)=x$. Solution homogène : $Ce^{-x}$. Particulière ($ax+b$) : $a+ax+b=-x\Rightarrow a=-1, b=1$. $z_p=-x+1$.

$z=Ce^{-x}-x+1$. $y=1/z=\frac{1}{Ce^{-x}-x+1}$.

Calculer l'intégrale première (énergie) de $y''=-y$ (équation du pendule linéaire).

Intégrale première :

Multiplier $y''=-y$ par $y'$ :
$y'y''=-yy' \Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{y'^2}{2}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{y^2}{2}\right)=0$.

Donc $E(x)=\frac{y'(x)^2+y(x)^2}{2}=\text{constante}$.

C'est l'énergie mécanique totale (cinétique + potentielle). Les solutions sont $y=A\cos x+B\sin x$, qui vérifient $y'^2+y^2=A^2+B^2=\text{cste}$. ✓

Vrai ou faux : Toute solution de $y'=f(x,y)$ avec $f$ continue peut être prolongée jusqu'au bord du domaine de définition de $f$.

Faux. Une solution peut exploser avant d'atteindre le bord : $y'=y^2$, $y(0)=1$ explose en $x=1$ alors que $f$ est définie sur tout $\mathbb{R}^2$. Le théorème de prolongement maximal garantit l'existence d'une solution maximale, mais pas qu'elle soit définie sur tout le domaine de $f$.