Intégrales généralisées

L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}$ est égale à :

$\int_1^{+\infty}t^{-2}dt=\left[-t^{-1}\right]_1^{+\infty}=0-(-1)=1$.

Vrai ou faux : $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t}$ converge.

Faux. $\int_1^x dt/t=[\ln t]_1^x=\ln x\to+\infty$. L'intégrale de Riemann $\alpha=1$ diverge.

$\int_0^{+\infty}e^{-2t}dt$ vaut :

$\int_0^{+\infty}e^{-2t}dt=\left[-\frac{e^{-2t}}{2}\right]_0^{+\infty}=0-(-1/2)=1/2$.

Vrai ou faux : $\int_0^1 dt/\sqrt{t}$ converge.

Vrai. $\int_0^1 t^{-1/2}dt$: singularité en $0$, $\alpha=1/2<1$. Converge : $\left[2\sqrt{t}\right]_0^1=2$.

Quelle est la valeur de $\Gamma(4)$ ?

$\Gamma(4)=(4-1)!=3!=6$.

Calculer $\int_0^{+\infty}te^{-t}dt$ par intégration par parties.

IBP : $u=t$, $v'=e^{-t}$, donc $u'=1$, $v=-e^{-t}$.
$\int_0^{+\infty}te^{-t}dt=\left[-te^{-t}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=0+1=1$.
(On a $\lim_{t\to\infty}te^{-t}=0$ par croissances comparées.)
Cela donne $\Gamma(2)=1!=1$. ✓

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}dt$.

Convergence : Pour $t\geq1$, $\ln t\leq\sqrt{t}$, donc $0\leq\frac{\ln t}{t^2}\leq\frac{1}{t^{3/2}}$. Comme $\int_1^\infty t^{-3/2}dt$ converge ($\alpha=3/2>1$), par comparaison l'intégrale converge.

Calcul (IBP) : $u=\ln t$, $v'=t^{-2}$, $v=-t^{-1}$ :
$\int_1^\infty\frac{\ln t}{t^2}dt=\left[-\frac{\ln t}{t}\right]_1^\infty+\int_1^\infty\frac{1}{t^2}dt=0+1=1$.

Vrai ou faux : Si $f$ est continue et $|f(t)|\leq e^{-t}$ pour $t\geq0$, alors $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge.

Vrai. Par comparaison : $|f(t)|\leq e^{-t}$ et $\int_0^\infty e^{-t}dt=1<\infty$. L'intégrale converge absolument, donc converge.

Calculer $\int_0^{+\infty}e^{-t}\cos t\,dt$.

Méthode : $I=\text{Re}\int_0^\infty e^{(-1+i)t}dt=\text{Re}\left[\frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i}\right]_0^\infty=\text{Re}\frac{1}{1-i}$.

$\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$. Donc $I=\text{Re}(1+i)/2=1/2$.

Vrai ou faux : $\int_0^{+\infty}\sin(t)dt$ converge.

Faux. $\int_0^x\sin t\,dt=[-\cos t]_0^x=1-\cos x$, qui n'admet pas de limite quand $x\to+\infty$ (oscille entre $0$ et $2$).

Montrer que $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ converge (intégrale de Dirichlet).

Preuve (IBP sur $[\varepsilon,A]$) :
$\int_\varepsilon^A\frac{\sin t}{t}dt=\left[-\frac{\cos t}{t}\right]_\varepsilon^A-\int_\varepsilon^A\frac{\cos t}{t^2}dt$
$=\frac{\cos\varepsilon}{\varepsilon}-\frac{\cos A}{A}-\int_\varepsilon^A\frac{\cos t}{t^2}dt$.

Quand $\varepsilon\to0^+$ : $\cos\varepsilon/\varepsilon\to+\infty$... hmm.

Alternative : Critère de Dirichlet (Abel-Dirichlet) : $f(t)=\sin t$ a des primitives bornées ($|\int_0^x\sin t|\leq2$) et $g(t)=1/t$ décroît vers $0$. L'intégrale $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}dt$ converge. L'intégrale sur $[0,1]$ converge absolument.

Calculer $\Gamma(1/2)$ sachant que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}$.

$\Gamma(1/2)=\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}dt$. Changement de variable $t=u^2$, $dt=2u\,du$ :
$\Gamma(1/2)=\int_0^\infty u^{-1}e^{-u^2}2u\,du=2\int_0^\infty e^{-u^2}du=\sqrt{\pi}$.

Vrai ou faux : $\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}{t}dt$ converge absolument.

Faux. $|\cos t/t|\sim1/(\pi k)$ sur les intervalles $[k\pi-\pi/2, k\pi+\pi/2]$ et la série harmonique diverge. L'intégrale converge (Dirichlet) mais pas absolument.

Calculer $\int_0^1 t^n\ln t\,dt$ pour $n\geq0$.

IBP : $u=\ln t$, $v'=t^n$, $v=t^{n+1}/(n+1)$.
$\int_0^1 t^n\ln t\,dt=\left[\frac{t^{n+1}\ln t}{n+1}\right]_0^1-\int_0^1\frac{t^n}{n+1}dt$
$=0-\frac{1}{n+1}\cdot\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{(n+1)^2}$.
(Le terme $t^{n+1}\ln t\to0$ en $0$ par croissances comparées.)

Vrai ou faux : Si $f$ est continue sur $[0,+\infty[$, $f(t)\geq0$ et $\int_0^{+\infty}f(t)dt<\infty$, alors $f(t)\to0$ quand $t\to+\infty$.

Faux. Contre-exemple : des bosses de hauteur $1$ et de largeur $1/n^2$ centrées en $n$. La fonction est $\geq0$, intégrable (la somme des aires $\sum1/n^2<\infty$), mais ne tend pas vers $0$ (elle revient à $1$ chaque fois).