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Licence 2 · Analyse L2 — Séries et intégrales généralisées

Suites et séries de fonctions : convergence simple et uniforme

### 1. Convergence simple

Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$ . On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f : I \to \mathbb{R}$ si, pour chaque $x \in I$ fixé, la suite numérique $(f_n(x))_n$ converge vers $f(x)$ :

\forall x \in I,\; \forall \varepsilon>0,\; \exists N(\varepsilon, x) \in \mathbb{N},\; \forall n \geq N(\varepsilon,x),\; |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon

Le point clé : le rang $N$ peut dépendre à la fois de $\varepsilon$ et de $x$ . C'est une convergence « point par point », qui ne contrôle pas la vitesse de convergence uniformément sur $I$ .

Exemple classique : $f_n(x) = x^n$ sur $I=[0,1]$ . Pour $x\in[0,1[$ , $f_n(x)\to 0$ . Pour $x=1$ , $f_n(1)=1\to 1$ . La suite converge simplement vers la fonction $f$ définie par $f(x)=0$ si $x<1$ et $f(1)=1$ : chaque $f_n$ est continue, mais la limite simple $f$ ne l'est pas — la convergence simple ne préserve pas la continuité.

### 2. Convergence uniforme

$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si le rang $N$ peut être choisi indépendamment de $x$ :

\forall \varepsilon>0,\; \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N},\; \forall n \geq N(\varepsilon),\; \forall x \in I,\; |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon

De façon équivalente, en posant $\|f_n-f\|_\infty = \displaystyle\sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)|$ :

(f_n) \text{ converge uniformément vers } f \iff \|f_n-f\|_\infty \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0

Méthode pratique : pour étudier la convergence uniforme, on calcule (ou on majore) $\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$ et on regarde si cette quantité tend vers $0$ .

La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse (cf. exemple $x^n$ ci-dessus, où la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$ , alors qu'elle est simple).

Exemple résolu : $f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2}$ sur $I=\mathbb{R}$ . Convergence simple : pour $x$ fixé, $f_n(x) \to 0$ . Convergence uniforme : on cherche $\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)|$ . En dérivant, $f_n'(x) = \dfrac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}$ s'annule en $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt n}$ , où $|f_n(x)| = \dfrac{1/\sqrt n}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt n}$ . Donc $\|f_n-0\|_\infty = \dfrac{1}{2\sqrt n} \to 0$ : la convergence est uniforme sur $\mathbb{R}$ .

### 3. Critère de Cauchy uniforme

$(f_n)$ converge uniformément sur $I$ (vers une certaine limite $f$ ) si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme :

\forall \varepsilon>0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall p,q \geq N,\; \forall x \in I,\; |f_p(x)-f_q(x)| < \varepsilon

Ce critère est très utile car il permet de prouver la convergence uniforme sans connaître explicitement la limite $f$ — exactement comme le critère de Cauchy pour les suites numériques.

### 4. Propriétés transmises par la convergence uniforme

Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ , et si chaque $f_n$ vérifie une certaine propriété, alors $f$ la vérifie aussi, dans les cas suivants :

- Continuité : si chaque $f_n$ est continue sur $I$ , alors $f$ est continue sur $I$ .
- Limite et interversion : si $x_0$ est une extrémité de $I$ et que $\lim_{x\to x_0} f_n(x) = \ell_n$ existe pour chaque $n$ , alors $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0} f_n(x)$ (les deux limites s'intervertissent).
- Intégration sur un segment : si chaque $f_n$ est continue sur $[a,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f_n(x)\,dx \to \int_a^b f(x)\,dx$ .
- Dérivation (plus délicat) : si $(f_n)$ converge simplement vers $f$ , que chaque $f_n$ est $C^1$ , et que $(f_n')$ converge uniformément vers une fonction $g$ , alors $f$ est $C^1$ et $f'=g$ .

Contre-exemple sans uniformité (continuité non préservée) : reprendre $f_n(x)=x^n$ sur $[0,1]$ : la convergence est simple mais non uniforme, et la limite $f$ n'est pas continue en $1$ . Ceci illustre que l'hypothèse d'uniformité est essentielle, pas une simple commodité technique.

### 5. Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, normale

Pour une série de fonctions $\displaystyle\sum_{n} u_n(x)$ , on définit les sommes partielles $S_N(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^N u_n(x)$ .

- Convergence simple de la série : pour chaque $x$ , la suite numérique $(S_N(x))_N$ converge.
- Convergence uniforme de la série : la suite de fonctions $(S_N)$ converge uniformément vers la somme $S$ .
- Convergence normale (critère le plus utilisé en pratique) : la série $\displaystyle\sum_n \|u_n\|_\infty$ converge (où $\|u_n\|_\infty = \sup_{x\in I}|u_n(x)|$ ).

Théorème : convergence normale $\Rightarrow$ convergence uniforme $\Rightarrow$ convergence simple. (Les implications réciproques sont fausses en général.)

Exemple résolu : $\displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{\sin(nx)}{n^2}$ sur $\mathbb{R}$ . On a $\left|\dfrac{\sin(nx)}{n^2}\right| \leq \dfrac{1}{n^2}$ pour tout $x$ , donc $\|u_n\|_\infty \leq \dfrac{1}{n^2}$ . Comme $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann, exposant $2>1$ ), la série converge normalement, donc uniformément, donc simplement, sur $\mathbb{R}$ . Par le théorème de continuité, sa somme est continue sur $\mathbb{R}$ .

### 6. Résumé méthodologique

| Type de convergence | Définition clé | Implique |
|---|---|---|
| Simple | $N$ dépend de $x$ et $\varepsilon$ | — |
| Uniforme | $N$ ne dépend que de $\varepsilon$ ; $\|f_n-f\|_\infty\to 0$ | convergence simple, continuité, intégration terme à terme |
| Normale (séries) | $\sum \|u_n\|_\infty$ converge | convergence uniforme |

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la différence essentielle entre convergence simple et convergence uniforme d'une suite de fonctions ?

Corrigé

Dans la convergence simple, $N$ peut dépendre de $x$ : chaque point de l'intervalle peut converger à sa propre vitesse. Dans la convergence uniforme, on exige un $N$ valable simultanément pour tous les $x$ de l'intervalle.

Exercice 2

Vrai ou faux : la convergence uniforme implique la convergence simple.

Corrigé

Vrai. Si $N(\varepsilon)$ convient pour tout $x$ simultanément, il convient en particulier pour chaque $x$ fixé : la convergence uniforme est une condition plus forte qui entraîne automatiquement la convergence simple.

Exercice 3

Quelle quantité doit tendre vers $0$ pour avoir convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f$ sur $I$ ?

Corrigé

La convergence uniforme équivaut à $\|f_n-f\|_\infty = \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)| \to 0$ , c'est-à-dire que l'écart maximal entre $f_n$ et $f$ sur tout l'intervalle tend vers $0$ .

Exercice 4

Pour $f_n(x)=x^n$ sur $[0,1]$ , vers quelle fonction $(f_n)$ converge-t-elle simplement ?

Corrigé

Pour $x\in[0,1[$ , $x^n\to 0$ . Pour $x=1$ , $1^n=1\to 1$ . La limite simple est donc la fonction discontinue $f(x)=0$ si $x<1$ , $f(1)=1$ .

Exercice 5

Quelle propriété la convergence uniforme transmet-elle, que la convergence simple ne transmet pas en général ?

Corrigé

Si chaque $f_n$ est continue et $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ , alors $f$ est continue. Avec seulement la convergence simple, la limite peut être discontinue (exemple $x^n$ sur $[0,1]$ ).

Exercice 6

Étudier la convergence uniforme de $f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

Corrigé

En étudiant les variations de $f_n$ , son maximum en valeur absolue est atteint en $x=\pm 1/\sqrt n$ et vaut $\dfrac{1}{2\sqrt n}$ , qui tend vers $0$ : la convergence est uniforme vers $0$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 7

Vrai ou faux : le critère de Cauchy uniforme permet de prouver la convergence uniforme sans connaître explicitement la fonction limite.

Corrigé

Vrai. Comme pour les suites numériques, le critère de Cauchy uniforme ( $\sup_x|f_p(x)-f_q(x)|\to 0$ quand $p,q\to\infty$ ) est équivalent à la convergence uniforme, sans nécessiter de connaître la limite à l'avance.

Exercice 8

Quelle est la relation entre convergence normale et convergence uniforme pour une série de fonctions $\sum u_n$ ?

Corrigé

La convergence normale ( $\sum \|u_n\|_\infty$ converge) est une condition suffisante mais pas nécessaire de convergence uniforme : elle implique la convergence uniforme, mais il existe des séries uniformément convergentes qui ne sont pas normalement convergentes.

Exercice 9

Montrer que $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{\sin(nx)}{n^2}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ .

Corrigé

$|\sin(nx)|\leq 1$ pour tout $x$ et tout $n$ , donc $\|u_n\|_\infty \leq 1/n^2$ . La série de Riemann $\sum 1/n^2$ converge (exposant $2>1$ ), donc $\sum\|u_n\|_\infty$ converge : c'est la convergence normale.

Exercice 10

Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ et que chaque $f_n$ est continue, que peut-on dire de $\int_a^b f_n(x)\,dx$ ?

Corrigé

On a $\left|\displaystyle\int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \displaystyle\int_a^b |f_n(x)-f(x)|\,dx \leq (b-a)\|f_n-f\|_\infty \to 0$ . Donc $\displaystyle\int_a^b f_n(x)\,dx \to \int_a^b f(x)\,dx$ : on peut intervertir limite et intégrale sur un segment grâce à la convergence uniforme.

Exercice 11

Démontrer que $(f_n)$ avec $f_n(x)=x^n$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$ , bien qu'elle converge simplement.

Corrigé

Méthode 1 (par contraposée de la propriété de continuité) : chaque $f_n(x)=x^n$ est continue sur $[0,1]$ . Si la convergence était uniforme, la limite $f$ serait nécessairement continue. Or $f(x)=0$ pour $x\in[0,1[$ et $f(1)=1$ est discontinue en $1$ . C'est une contradiction : la convergence n'est donc pas uniforme.

Méthode 2 (calcul direct) : $\sup_{x\in[0,1[}|f_n(x)-f(x)| = \sup_{x\in[0,1[} x^n = 1$ (la borne sup n'est pas atteinte mais on s'en approche autant qu'on veut en prenant $x$ proche de $1$ ). Cette quantité vaut $1$ pour tout $n$ , donc ne tend pas vers $0$ : ce n'est pas une convergence uniforme. $\square$

Exercice 12

Soit $f_n(x) = n x e^{-nx^2}$ sur $[0,1]$ . Étudier la convergence simple, puis montrer que la convergence n'est pas uniforme en comparant $\lim_n \int_0^1 f_n$ et $\int_0^1 \lim_n f_n$ .

Corrigé

Convergence simple : pour $x=0$ , $f_n(0)=0$ pour tout $n$ . Pour $x>0$ fixé, on compare la croissance de $n$ à la décroissance exponentielle de $e^{-nx^2}$ : par croissances comparées, $n e^{-nx^2} \to 0$ . Donc $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$ .

Calcul de l'intégrale : $\displaystyle\int_0^1 nxe^{-nx^2}\,dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-nx^2}\right]_0^1 = \frac{1-e^{-n}}{2} \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{2}$ .

Or $\displaystyle\int_0^1 \Big(\lim_n f_n(x)\Big)\,dx = \int_0^1 0\,dx = 0 \neq \frac12$ .

Comme $\displaystyle\lim_n \int_0^1 f_n \neq \int_0^1 \lim_n f_n$ , l'interversion limite-intégrale échoue : par contraposée du théorème d'intégration sous convergence uniforme, la convergence ne peut pas être uniforme sur $[0,1]$ . $\square$

Exercice 13

Vrai ou faux : si $(f_n)$ converge simplement vers $f$ , que chaque $f_n$ est $C^1$ , et que $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ , alors $f$ est $C^1$ et $f'=g$ .

Corrigé

Vrai. C'est le théorème de dérivation sous convergence uniforme : contrairement à la continuité (où l'on a besoin que $(f_n)$ elle-même converge uniformément), pour la dérivation, il suffit que ce soit la suite des dérivées $(f_n')$ qui converge uniformément, la convergence simple de $(f_n)$ suffisant pour $f$ elle-même.

Exercice 14

Donner un exemple de série de fonctions convergeant uniformément mais pas normalement sur son domaine (justifier brièvement le principe, sans calcul exhaustif).

Corrigé

Exemple : $u_n(x) = \dfrac{(-1)^n x^n}{n}$ sur $[0,1]$ , pour $n\geq 1$ .

Convergence uniforme : c'est une série alternée en $n$ pour $x$ fixé (le terme $x^n/n$ décroît vers $0$ ), donc par le critère des séries alternées, le reste $|R_N(x)| \leq \dfrac{x^{N+1}}{N+1} \leq \dfrac{1}{N+1}$ , indépendamment de $x\in[0,1]$ . Donc $\sup_x |R_N(x)| \to 0$ : convergence uniforme.

Pas de convergence normale : $\|u_n\|_\infty = \sup_{x\in[0,1]} \dfrac{x^n}{n} = \dfrac{1}{n}$ (atteint en $x=1$ ). La série $\sum \dfrac1n$ est la série harmonique, qui diverge. Donc $\sum \|u_n\|_\infty$ diverge : pas de convergence normale, bien que la convergence soit uniforme. Cet exemple montre que l'implication normale $\Rightarrow$ uniforme n'est pas réversible.

Exercice 15

Démontrer que si $(f_n)$ et $(g_n)$ convergent uniformément vers $f$ et $g$ respectivement sur $I$ , alors $(f_n+g_n)$ converge uniformément vers $f+g$ sur $I$ .

Corrigé

Pour tout $x \in I$ :

|(f_n+g_n)(x) - (f+g)(x)| = |(f_n(x)-f(x)) + (g_n(x)-g(x))| \leq |f_n(x)-f(x)| + |g_n(x)-g(x)|

En passant au supremum sur $x \in I$ :

\|(f_n+g_n)-(f+g)\|_\infty \leq \|f_n-f\|_\infty + \|g_n-g\|_\infty

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