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Licence 2 · Analyse L2 — Séries et intégrales généralisées

Suites et séries numériques

1. Suites numériques

Une suite $(u_n)_{n\geq0}$ est une application $\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ .

Convergence : $(u_n)$ converge vers $\ell$ si $\forall\varepsilon>0, \exists N, n\geq N\Rightarrow|u_n-\ell|<\varepsilon$ .

Suites monotones bornées : toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.

Théorème des suites adjacentes : si $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, $v_n-u_n\to0$ , alors elles convergent vers la même limite.

2. Séries numériques

La série de terme général $a_n$ est $\sum_{n=0}^\infty a_n$ . Sa somme partielle est $S_N=\sum_{n=0}^N a_n$ .

La série converge si $(S_N)$ converge. Sa somme est $S=\lim_{N\to\infty}S_N$ .

Condition nécessaire : si $\sum a_n$ converge, alors $a_n\to0$ . La réciproque est fausse ( $\sum 1/n$ diverge).

3. Séries de référence

- Série géométrique : $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$ si $|r|<1$ , diverge si $|r|\geq1$ .
- Série de Riemann : $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ converge si $\alpha>1$ , diverge si $\alpha\leq1$ .
- Série harmonique : $\sum 1/n$ diverge.

4. Critères de convergence

Critère de comparaison : $0\leq a_n\leq b_n$ et $\sum b_n$ converge $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge.

Critère des équivalents : si $a_n\sim b_n$ ( $a_n/b_n\to1$ ), les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ ont même nature.

Critère de d'Alembert : si $|a_{n+1}/a_n|\to L$ :
- $L<1$ : convergence absolue
- $L>1$ : divergence
- $L=1$ : non concluant

Critère de Cauchy : si $|a_n|^{1/n}\to L$ , même conclusion que d'Alembert.

5. Convergence absolue

$\sum a_n$ converge absolument si $\sum|a_n|$ converge. La convergence absolue implique la convergence.

Critère des séries alternées (Leibniz) : si $(|a_n|)$ est décroissante tendant vers $0$ , alors $\sum(-1)^n a_n$ converge.

Exercices de la leçon

Exercice 1

La série $\sum_{n=0}^\infty (1/2)^n$ est égale à :

Corrigé

Série géométrique de raison $r=1/2<1$ . Somme $=1/(1-1/2)=2$ .

Exercice 2

Vrai ou faux : $\sum_{n=1}^\infty 1/n$ converge.

Corrigé

Faux. La série harmonique $\sum 1/n$ est une série de Riemann avec $\alpha=1\leq1$ : elle diverge.

Exercice 3

La série $\sum n^{-2}$ (série de Riemann $\alpha=2$ ) :

Corrigé

$\alpha=2>1$ donc convergence. La somme est $\pi^2/6$ (résultat d'Euler). C'est la solution du problème de Bâle.

Exercice 4

Vrai ou faux : Si $a_n\to0$ , alors $\sum a_n$ converge.

Corrigé

Faux. $a_n=1/n\to0$ mais $\sum1/n$ diverge. La condition $a_n\to0$ est nécessaire mais non suffisante.

Exercice 5

Appliquer le critère de d'Alembert à $\sum n!/n^n$ . Que vaut $\lim|a_{n+1}/a_n|$ ?

Corrigé

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{1}{(1+1/n)^n}\to1/e<1$ . Donc convergence.

Exercice 6

Étudier la nature de $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$ .

Corrigé

Décomposition en éléments simples :
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ (série télescopique).

$S_N=\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}\to1$ .

La série converge et sa somme est $1$ .

Exercice 7

Vrai ou faux : La série $\sum(-1)^n/n$ converge.

Corrigé

Vrai. Par le critère de Leibniz : $a_n=1/n$ est décroissante et tend vers $0$ . Donc $\sum(-1)^n/n$ converge (mais pas absolument).

Exercice 8

Appliquer d'Alembert à $\sum n^2/2^n$ .

Corrigé

$|a_{n+1}/a_n|=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n^2}=\frac{(n+1)^2}{2n^2}\to\frac{1}{2}<1$ . La série converge absolument.

Exercice 9

Vrai ou faux : La convergence absolue implique la convergence.

Corrigé

Vrai. Si $\sum|a_n|$ converge, alors $\sum a_n$ converge aussi. La réciproque est fausse ( $\sum(-1)^n/n$ converge mais pas absolument).

Exercice 10

Quelle est la somme de $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n$ pour $|x|<1$ ?

Corrigé

$\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n=\sum_{n=0}^\infty(-x)^n=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}$ (série géométrique de raison $-x$ , $|-x|=|x|<1$ ).

Exercice 11

Montrer que $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ converge par comparaison.

Corrigé

Pour $n\geq2$ : $\frac{1}{n^2}\leq\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ .

$\sum_{n=2}^N\frac{1}{n(n-1)}=1-\frac{1}{N}\to1$ .

Par comparaison, $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^2}$ converge, donc $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^2}$ converge aussi. $\square$

Exercice 12

Vrai ou faux : Si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent, alors $\sum a_n b_n$ converge.

Corrigé

Faux. Contre-exemple : $a_n=b_n=(-1)^n/\sqrt{n}$ . $\sum a_n$ converge (Leibniz), mais $\sum a_nb_n=\sum1/n$ diverge.

Exercice 13

Calculer la somme de $\sum_{n=0}^\infty nx^n$ pour $|x|<1$ .

Corrigé

On sait que $f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$ pour $|x|<1$ .

En dérivant terme à terme (permis sur $|x|<1$ ) :
$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ .

En multipliant par $x$ : $\sum_{n=1}^\infty nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}$ .

Exercice 14

Étudier la convergence de $\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^2}$ .

Corrigé

Pour tout $n\geq1$ : $|\sin n/n^2|\leq1/n^2$ .

Or $\sum1/n^2$ converge (Riemann, $\alpha=2>1$ ).

Par comparaison des valeurs absolues, $\sum|\sin n/n^2|$ converge, donc $\sum\sin n/n^2$ converge absolument.

Exercice 15

Vrai ou faux : Si $(S_N)$ est bornée et les $a_n$ sont positifs décroissants tendant vers $0$ , alors $\sum a_n$ converge.

Corrigé

Faux. $(S_N)$ croissante bornée converge. Mais ici les $a_n>0$ donc $S_N$ est croissante. Si elle est bornée ET les $a_n>0$ alors effectivement $S_N$ converge. En fait cela est vrai pour $a_n>0$ : croissante bornée $\Rightarrow$ convergente. Réponse correcte : Vrai.

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