Différentiabilité et gradient

Calculer $\partial f/\partial x$ pour $f(x,y)=x^2y+3xy^2$.

On dérive par rapport à $x$ en traitant $y$ comme constante : $\partial f/\partial x = 2xy + 3y^2$.

Calculer le gradient de $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ en $(1,1)$.

$\partial f/\partial x=2x+y$, $\partial f/\partial y=x+2y$. En $(1,1)$ : $\nabla f=(3,3)$.

Vrai ou faux : Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.

Vrai. De $f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$, quand $h\to0$ : $f(a+h)\to f(a)+0+0=f(a)$.

Calculer $\partial^2 f/\partial x\partial y$ pour $f(x,y)=\sin(xy)$.

$\partial f/\partial x=y\cos(xy)$. $\partial^2 f/\partial y\partial x=\partial/\partial y[y\cos(xy)]=\cos(xy)+y(-x\sin(xy))=\cos(xy)-xy\sin(xy)$.

Vrai ou faux : L'existence des dérivées partielles implique la différentiabilité.

Faux. La fonction $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$ pour $(x,y)\neq0$ et $f(0,0)=0$ a des dérivées partielles nulles en $0$ mais n'est même pas continue en $0$.

Calculer la matrice jacobienne de $f(x,y)=(x^2+y,xy)$ en $(1,2)$.

$J_f=\begin{pmatrix}\partial f_1/\partial x & \partial f_1/\partial y\\\partial f_2/\partial x & \partial f_2/\partial y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&1\\y&x\end{pmatrix}$.

En $(1,2)$ : $J_f(1,2)=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}$.

Appliquer la règle de la chaîne : $f(x,y)=x^2+y^2$, $x(t)=\cos t$, $y(t)=\sin t$. Calculer $d(f\circ g)/dt$.

$\nabla f(g(t))=(2\cos t,2\sin t)$, $g'(t)=(-\sin t,\cos t)$.
$(f\circ g)'(t)=\nabla f\cdot g'=2\cos t(-\sin t)+2\sin t\cos t=0$.

Ce résultat est logique : $f(g(t))=\cos^2t+\sin^2t=1$ (constante).

Vrai ou faux : Si $\partial^2 f/\partial x\partial y$ et $\partial^2 f/\partial y\partial x$ sont continues, elles sont égales.

Vrai. C'est le théorème de Schwarz (ou de symétrie des dérivées secondes) : si les dérivées mixtes sont continues, elles coïncident.

Calculer la hessienne de $f(x,y)=x^3-3xy^2$ (laplacien harmonique).

$f_x=3x^2-3y^2$, $f_y=-6xy$.
$f_{xx}=6x$, $f_{xy}=-6y$, $f_{yy}=-6x$.

$H_f=\begin{pmatrix}6x&-6y\\-6y&-6x\end{pmatrix}$.

$\Delta f=f_{xx}+f_{yy}=6x-6x=0$ : $f$ est harmonique (satisfait $\Delta f=0$).

Dans quelle direction le gradient de $f(x,y)=x^2-y^2$ pointe-t-il en $(1,0)$ ?

$\nabla f=(2x,-2y)$. En $(1,0)$ : $\nabla f=(2,0)$, direction des $x$ positifs.

Montrer que $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ n'est pas différentiable en $(0,0)$.

Dérivée partielle : $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}$.

Cette limite n'existe pas ($+1$ si $h>0$, $-1$ si $h<0$).

Donc $f$ n'admet pas de dérivée partielle en $(0,0)$, et en particulier n'est pas différentiable en $(0,0)$.

Vrai ou faux : Si $\nabla f(a)=0$, alors $f$ admet un extremum en $a$.

Faux. $f(x,y)=x^3+y^3$ vérifie $\nabla f(0,0)=0$ mais $(0,0)$ est un point selle (col) — pas un extremum.

Calculer la dérivée directionnelle de $f(x,y)=xy$ en $(1,1)$ dans la direction $u=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$.

$\nabla f=(y,x)$. En $(1,1)$ : $\nabla f=(1,1)$.
$D_u f(1,1)=\nabla f\cdot u=(1,1)\cdot(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}$.

C'est la dérivée directionnelle dans la direction $u$.

Vrai ou faux : La dérivée directionnelle maximale est atteinte dans la direction du gradient.

Vrai. $D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\leq\|\nabla f(a)\|\|u\|=\|\nabla f(a)\|$ (Cauchy-Schwarz). Égalité ssi $u=\nabla f(a)/\|\nabla f(a)\|$.

Calculer la hessienne de $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+xy$.

$f_x=2x+y$, $f_y=4y+x$, $f_z=6z$.
$H_f=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&4&0\\0&0&6\end{pmatrix}$.

Mineurs principaux : $2>0$, $2\times4-1=7>0$, $6\times7=42>0$. La hessienne est définie positive.