Extrema et points critiques

Trouver les points critiques de $f(x,y)=x^2+4y^2-4x$.

$\nabla f=(2x-4,8y)=0 \Rightarrow x=2, y=0$. Point critique : $(2,0)$.

La hessienne de $f$ en un point critique est $H=\begin{pmatrix}4&0\\0&8\end{pmatrix}$. Nature du point ?

$D=4\times8-0=32>0$ et $f_{xx}=4>0$ : minimum local.

Vrai ou faux : Tout point critique est un extremum local.

Faux. $f(x,y)=x^2-y^2$ a $\nabla f(0,0)=0$ mais $(0,0)$ est un point selle (minimum selon $x$, maximum selon $y$).

Quelle est la nature du point critique $(0,0)$ de $f(x,y)=x^2-y^2$ ?

$H=\begin{pmatrix}2&0\\0&-2\end{pmatrix}$. $D=2(-2)-0=-4<0$. Point selle.

Minimiser $f(x,y)=x^2+y^2$ sous la contrainte $x+2y=5$ (Lagrange).

$\nabla f=(2x,2y)=\lambda(1,2)=\lambda\nabla g$.
$x=\lambda/2$, $y=\lambda$.

Contrainte : $\lambda/2+2\lambda=5 \Rightarrow 5\lambda/2=5 \Rightarrow \lambda=2$.

$x=1$, $y=2$, $f(1,2)=1+4=5$.

Trouver et classifier les points critiques de $f(x,y)=x^3-3x+y^2-2y$.

$\nabla f=(3x^2-3, 2y-2)=0 \Rightarrow x=\pm1, y=1$.

$H_f=\begin{pmatrix}6x&0\\0&2\end{pmatrix}$.

En $(1,1)$ : $D=6\times2=12>0$, $f_{xx}=6>0$ : minimum local. $f(1,1)=-1-1-1+... = 1-3+1-2=-3$.

En $(-1,1)$ : $D=-6\times2=-12<0$ : point selle.

Vrai ou faux : Si $H_f(a)$ est définie négative et $\nabla f(a)=0$, alors $a$ est un maximum local.

Vrai. Si $\nabla f(a)=0$ et $H_f(a)$ est définie négative, alors $f(a+h)=f(a)+h^TH_f(a)h/2+o(\|h\|^2)<f(a)$ pour $h$ petit non nul. Donc $a$ est un maximum local strict.

Quel point du plan $x+y+z=1$ est le plus proche de l'origine ?

Lagrange : $\nabla f=\lambda\nabla g$ avec $f=x^2+y^2+z^2$, $g=x+y+z-1$.
$(2x,2y,2z)=\lambda(1,1,1) \Rightarrow x=y=z=\lambda/2$.
Contrainte : $3\lambda/2=1$, $\lambda=2/3$, $x=y=z=1/3$.
Distance $=\sqrt{3(1/9)}=1/\sqrt{3}=\sqrt{3}/3$.

Vrai ou faux : La méthode des multiplicateurs de Lagrange s'applique à des contraintes non linéaires.

Vrai. La méthode de Lagrange fonctionne pour toute contrainte différentiable $g(x)=0$, qu'elle soit linéaire ou non, sous réserve que $\nabla g(a)\neq0$ au point optimal (qualification de contrainte).

Maximiser $f(x,y)=xy$ sous $x^2+y^2=1$ (Lagrange).

$\nabla f=(y,x)=\lambda(2x,2y)$. Système : $y=2\lambda x$, $x=2\lambda y$.
Multipliant : $xy=2\lambda x^2=2\lambda y^2$, donc $x^2=y^2$, $y=\pm x$.
Cas $y=x$ : $2x^2=1$, $x=1/\sqrt{2}$, $f=1/2$ (maximum).
Cas $y=-x$ : $f=-1/2$ (minimum).

Montrer que la matrice hessienne $H_f$ est symétrique lorsque $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$.

Preuve :
$(H_f)_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$.

Par le théorème de Schwarz : si $f\in\mathcal{C}^2$, alors les dérivées partielles d'ordre $2$ sont continues et commutent :
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$.

Donc $(H_f)_{ij}=(H_f)_{ji}$, $H_f$ est symétrique. $\square$

Vrai ou faux : Sur un compact, toute fonction continue atteint son maximum et son minimum.

Vrai. Théorème des valeurs extrêmes (Weierstrass) : toute fonction continue sur un compact (fermé borné) de $\mathbb{R}^n$ est bornée et atteint ses bornes.

Chercher les extrema de $f(x,y,z)=xyz$ sur la sphère $x^2+y^2+z^2=1$.

$\nabla f=(yz,xz,xy)=\lambda(2x,2y,2z)$.
$yz=2\lambda x$, $xz=2\lambda y$, $xy=2\lambda z$.

Multipliant les membres gauches : $(xyz)^2=8\lambda^3 xyz$, soit $xyz=8\lambda^3$.
Et $(yz)(xz)(xy)=8\lambda^3xyz$, $(xyz)^2=8\lambda^3xyz$.

De $yz=2\lambda x$ et $xz=2\lambda y$ : $\frac{yz}{xz}=\frac{x}{y}$, soit $y^2=x^2$. Similairement $x^2=z^2$. Contrainte : $3x^2=1$, $|x|=1/\sqrt{3}$. $f_{\max}=1/(3\sqrt{3})$.

Vrai ou faux : Si $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}^n$, elle admet au plus un minimum global.

Vrai. Si $f$ est strictement convexe et admet deux minima $a,b$, alors par stricte convexité : $f((a+b)/2)<(f(a)+f(b))/2=f(a)$, ce qui contredit que $a$ est un minimum. Donc le minimum est unique (s'il existe).

Maximiser le volume d'un parallélépipède rectangle inscrit dans l'ellipsoïde $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$.

On maximise $V=8xyz$ (sommet $(x,y,z)$, $x,y,z>0$) sous $g=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$.

$\nabla V=(8yz,8xz,8xy)=\lambda\nabla g=\lambda(2x/a^2,2y/b^2,2z/c^2)$.

En multipliant : $8yz=2\lambda x/a^2 \Rightarrow 8xyz=2\lambda x^2/a^2$. De même pour les autres. Donc $x^2/a^2=y^2/b^2=z^2/c^2=1/3$.

$V_{\max}=8\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot\frac{b}{\sqrt{3}}\cdot\frac{c}{\sqrt{3}}=\frac{8abc}{3\sqrt{3}}$.