Intégrales doubles et triples

Calculer $\int_0^1\int_0^2 xy\,dy\,dx$.

$\int_0^2 xy\,dy=x[y^2/2]_0^2=2x$. Puis $\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0^1=1$.

Vrai ou faux : Par Fubini, $\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\int_0^1 f(x,y)\,dy\,dx$ si $f$ est continue.

Vrai. Le théorème de Fubini garantit l'égalité des deux ordres d'intégration pour $f$ continue sur un rectangle.

Calculer l'aire du disque de rayon $R$ en coordonnées polaires.

$\text{Aire}=\int_0^{2\pi}\int_0^R r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot[r^2/2]_0^R=2\pi\cdot R^2/2=\pi R^2$.

Quel est le jacobien du changement en coordonnées polaires ?

$J=\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r$. Donc $dA=r\,dr\,d\theta$.

Calculer $\iiint_V dV$ pour $V=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq1\}$ (boule unité).

En coordonnées sphériques : $V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot2\cdot1/3=4\pi/3$.

Calculer $\iint_D x^2+y^2\,dA$ sur le disque $D: x^2+y^2\leq4$.

En polaire : $x^2+y^2=r^2$.
$\iint_D(x^2+y^2)dA=\int_0^{2\pi}\int_0^2 r^2\cdot r\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^2 r^3dr=2\pi\cdot\frac{16}{4}=8\pi$.

Calculer $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ en inversant l'ordre d'intégration.

Le domaine est $\{0\leq x\leq y\leq1\}$.

Inversion : $\int_0^1\left(\int_0^y dx\right)e^{y^2}dy=\int_0^1 ye^{y^2}dy$.

Primitive : $ye^{y^2}=\frac{1}{2}(e^{y^2})'$. Donc $=\frac{1}{2}[e^{y^2}]_0^1=\frac{e-1}{2}$.

Vrai ou faux : Le volume de la boule de rayon $R$ est $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Vrai. En coordonnées sphériques : $V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot2\cdot R^3/3=4\pi R^3/3$.

Calculer le volume du cône $z^2=x^2+y^2$, $0\leq z\leq1$.

En coordonnées cylindriques, le cône est $r\leq z$, $0\leq z\leq1$.
$V=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^z r\,dr\,dz\,d\theta=2\pi\int_0^1\frac{z^2}{2}dz=2\pi\cdot\frac{1}{6}=\frac{\pi}{3}$.

Vrai ou faux : $\int_0^1\int_0^1\frac{x-y}{(x+y)^3}dx\,dy=-\frac{1}{2}$ et $\int_0^1\int_0^1\frac{x-y}{(x+y)^3}dy\,dx=\frac{1}{2}$.

Vrai. C'est un exemple classique montrant que Fubini ne s'applique pas ici car $f(x,y)=(x-y)/(x+y)^3$ n'est pas intégrable au sens de Lebesgue sur $[0,1]^2$ (elle n'est pas dans $L^1$).

Calculer $\iint_{x^2+y^2\leq1}\sqrt{1-x^2-y^2}\,dA$ (volume d'une demi-sphère).

En polaire :
$\iint\sqrt{1-r^2}\cdot r\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^1 r\sqrt{1-r^2}dr$.

Sub $u=1-r^2$ : $=2\pi\int_0^1\frac{\sqrt{u}}{2}du=\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{2\pi}{3}$.

C'est bien le volume de la demi-sphère de rayon $1$ : $\frac{1}{2}\cdot\frac{4\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ ✓.

Vrai ou faux : Le jacobien de la transformation en coordonnées sphériques est $\rho^2\sin\phi$.

Vrai. Le jacobien de $(x,y,z)=(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)$ est $\rho^2\sin\phi$, ce qui donne $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$.

Calculer $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$ en utilisant le passage en polaires.

Soit $I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$.
$I^2=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}dA$.

En polaire : $=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi$.

Donc $I=\sqrt{\pi}$. $\square$

Calculer le moment d'inertie de la boule unité $\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq1}(x^2+y^2)dV$.

En coordonnées sphériques : $x^2+y^2=\rho^2\sin^2\phi$.
$I=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin^2\phi\sin\phi\,d\phi\int_0^1\rho^4\,d\rho$
$=2\pi\cdot\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi\cdot\frac{1}{5}$.

$\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi=4/3$.

$I=2\pi\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{8\pi}{15}$.

Vrai ou faux : $\iint_D f(x)g(y)\,dA=\left(\int_a^b f(x)dx\right)\left(\int_c^d g(y)dy\right)$ pour $D=[a,b]\times[c,d]$.

Vrai. Par Fubini : $\iint_D f(x)g(y)dA=\int_a^b f(x)\left(\int_c^d g(y)dy\right)dx=\left(\int_a^b f(x)dx\right)\left(\int_c^d g(y)dy\right)$ car $\int_c^d g(y)dy$ est une constante par rapport à $x$.