Séries de Fourier

Quelle formule donne le coefficient $a_0$ d'une fonction $f$ $2\pi$-périodique ?

Par définition, $a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$ pour tout $n\geq0$, y compris $n=0$ (où $\cos(0\cdot x)=1$). Donc $a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$.

Vrai ou faux : si $f$ est une fonction paire, sa série de Fourier ne contient que des termes en cosinus.

Vrai. Si $f$ est paire, la fonction $x\mapsto f(x)\sin(nx)$ est impaire (produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire), donc son intégrale sur $[-\pi,\pi]$ est nulle : $b_n=0$ pour tout $n$. La série ne contient donc que le terme constant $a_0/2$ et les cosinus.

Quelle est la relation entre les coefficients complexes $c_n$ et les coefficients trigonométriques $a_n, b_n$ pour $n\geq1$ ?

En développant $c_n=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x)(\cos(nx)-i\sin(nx))dx$, on identifie $c_n=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int f\cos(nx)dx\right)-\dfrac{i}{2}\left(\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int f\sin(nx)dx\right)=\dfrac{a_n-ib_n}{2}$.

Pour la fonction créneau $f$ ($2\pi$-périodique, impaire, $f=1$ sur $]0,\pi[$, $f=-1$ sur $]-\pi,0[$), que vaut $b_2$ ?

On a $b_n=\dfrac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)$. Pour $n=2$ (pair), $(-1)^2=1$, donc $b_2=\dfrac{2}{2\pi}(1-1)=0$. Seuls les indices impairs donnent un coefficient non nul pour cette fonction créneau.

Vrai ou faux : pour une fonction impaire, on a toujours $a_0=0$.

Vrai. $a_0$ est un cas particulier de $a_n$ (avec $n=0$), donc la règle « $f$ impaire $\Rightarrow a_n=0$ pour tout $n$ » s'applique aussi à $n=0$. Cela correspond au fait que la valeur moyenne d'une fonction impaire sur une période symétrique est nulle.

Pour la fonction dents de scie $g(x)=x$ sur $]-\pi,\pi[$ ($2\pi$-périodique), que vaut $b_3$ ?

On a établi $b_n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}$. Pour $n=3$ : $(-1)^{4}=1$, donc $b_3=\dfrac{2\times1}{3}=\dfrac{2}{3}$.

Pour la fonction triangle $h(x)=|x|$ sur $[-\pi,\pi]$ ($2\pi$-périodique), que vaut $a_3$ ?

On a $a_n=-\dfrac{4}{\pi n^2}$ pour $n$ impair. Pour $n=3$ : $a_3=-\dfrac{4}{\pi\cdot9}=-\dfrac{4}{9\pi}$.

La fonction créneau du cours présente une discontinuité en $x=\pi$ (saut entre $f(\pi^-)=1$ et $f(-\pi^+)=-1$, par périodicité). Vers quelle valeur converge sa série de Fourier en ce point ?

Par le théorème de Dirichlet, en un point de discontinuité la série de Fourier converge vers la demi-somme des limites à gauche et à droite : $\dfrac{f(\pi^-)+f(\pi^+)}{2}=\dfrac{1+(-1)}{2}=0$ (en utilisant $f(\pi^+)=f(-\pi^+)=-1$ par $2\pi$-périodicité).

Vrai ou faux : le théorème de Dirichlet exige seulement que $f$ soit continue par morceaux (pas nécessairement $\mathcal{C}^1$ par morceaux) pour garantir la convergence ponctuelle de la série de Fourier vers la demi-somme des limites.

Faux. L'énoncé usuel du théorème de Dirichlet requiert que $f$ soit $\mathcal{C}^1$ par morceaux (c'est-à-dire que $f$ ET $f'$ admettent des limites à gauche/à droite finies en tout point). La seule continuité par morceaux ne suffit pas à garantir la convergence ponctuelle (il existe des contre-exemples de fonctions continues dont la série de Fourier diverge en certains points).

En évaluant la série de Fourier de la fonction créneau en $x=\dfrac{\pi}{2}$ (point de continuité où $f(\pi/2)=1$), quelle identité classique obtient-on ?

En $x=\pi/2$, $\sin((2k+1)\pi/2)$ vaut alternativement $1,-1,1,-1,\dots$, donc $1=\dfrac{4}{\pi}\left(1-\dfrac13+\dfrac15-\cdots\right)$, soit la formule de Leibniz $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}$. Les options C et D sont vraies mais s'obtiennent par Parseval, pas par évaluation ponctuelle de Dirichlet.

Démontrer, à partir de l'égalité de Parseval appliquée à la fonction créneau du cours, que $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$.

Rappel des données : pour le créneau, $a_n=0$ pour tout $n$, $b_{2k}=0$, $b_{2k+1}=\dfrac{4}{(2k+1)\pi}$.

Membre de gauche de Parseval : $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2dx$. Comme $f(x)=\pm1$, on a $f(x)^2=1$ pour tout $x$, donc $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=\dfrac{1}{2\pi}\cdot2\pi=1$.

Membre de droite de Parseval : $\dfrac{a_0^2}{4}+\dfrac12\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)=0+\dfrac12\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}b_{2k+1}^2$ (les termes pairs et les $a_n$ sont nuls).

Conclusion : l'égalité des deux membres donne $1=\dfrac{8}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}$, d'où $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$. $\square$

En partant du résultat $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$, démontrer que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

Idée : séparer la somme sur tous les entiers en indices impairs et indices pairs.

Notons $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$. On écrit $\mathbb{N}^*=\{\text{impairs}\}\cup\{\text{pairs}\}$ :

Le premier terme vaut $\dfrac{\pi^2}{8}$ par le résultat précédent. Le second se factorise :

On obtient donc l'équation $S=\dfrac{\pi^2}{8}+\dfrac{S}{4}$, soit $S-\dfrac{S}{4}=\dfrac{\pi^2}{8}$, c'est-à-dire $\dfrac{3S}{4}=\dfrac{\pi^2}{8}$.

En multipliant par $\dfrac{4}{3}$ : $S=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\pi^2}{8}=\dfrac{\pi^2}{6}$. $\square$

C'est le célèbre problème de Bâle.

Soit $h(x)=|x|$ sur $[-\pi,\pi]$ ($2\pi$-périodique, $a_0=\pi$, $a_{2k+1}=-\dfrac{4}{\pi(2k+1)^2}$, $a_{2k}=0$ pour $k\geq1$, $b_n=0$). Que vaut $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}$ d'après Parseval ?

Membre de gauche : $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi x^2dx=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{2\pi^3}{3}=\dfrac{\pi^2}{3}$. Membre de droite : $\dfrac{a_0^2}{4}+\dfrac12\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_{2k+1}^2=\dfrac{\pi^2}{4}+\dfrac12\cdot\dfrac{16}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^4}$. En égalant : $\dfrac{\pi^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{4}=\dfrac{8}{\pi^2}\displaystyle\sum\dfrac{1}{(2k+1)^4}$, soit $\dfrac{\pi^2}{12}=\dfrac{8}{\pi^2}\displaystyle\sum\dfrac{1}{(2k+1)^4}$, d'où $\displaystyle\sum\dfrac{1}{(2k+1)^4}=\dfrac{\pi^4}{96}$.

Vrai ou faux : pour toute fonction $f$ $2\pi$-périodique de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux et continue partout, la série de Fourier de $f$ converge vers $f(x)$ en TOUT point $x$, sans exception.

Vrai. Si $f$ est continue en tout point (pas seulement $\mathcal{C}^1$ par morceaux mais sans aucune discontinuité), alors pour tout $x$, $f(x^-)=f(x^+)=f(x)$, donc la demi-somme de Dirichlet $\dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$ vaut exactement $f(x)$. C'est le cas par exemple de la fonction triangle $h(x)=|x|$ du cours, qui est continue partout (contrairement au créneau).

Démontrer, en utilisant l'égalité de Parseval appliquée à la fonction triangle $h(x)=|x|$ sur $[-\pi,\pi]$ (avec $a_0=\pi$, $a_n=0$ pour $n$ pair $\geq2$, $a_{2k+1}=-\frac{4}{\pi(2k+1)^2}$, $b_n=0$), que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$.

Étape 1 — Parseval sur le triangle. Membre de gauche : $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi x^2\,dx=\dfrac{1}{2\pi}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{-\pi}^{\pi}=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{2\pi^3}{3}=\dfrac{\pi^2}{3}$.

Membre de droite : $\dfrac{a_0^2}{4}+\dfrac12\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_{2k+1}^2=\dfrac{\pi^2}{4}+\dfrac12\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{16}{\pi^2(2k+1)^4}=\dfrac{\pi^2}{4}+\dfrac{8}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^4}$.

En égalant : $\dfrac{\pi^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{4}=\dfrac{8}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^4}$, soit $\dfrac{\pi^2}{12}=\dfrac{8}{\pi^2}\displaystyle\sum\dfrac{1}{(2k+1)^4}$, d'où :

Étape 2 — séparation pairs/impairs. Notons $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^4}$. Comme précédemment :

Étape 3 — résolution. $S-\dfrac{S}{16}=\dfrac{\pi^4}{96}$, soit $\dfrac{15S}{16}=\dfrac{\pi^4}{96}$, d'où :

On retrouve ainsi $\zeta(4)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}$, par une méthode entièrement analogue à celle utilisée pour $\zeta(2)=\pi^2/6$. $\square$