Interpolation et approximation de fonctions

Combien de points sont nécessaires pour déterminer de façon unique un polynôme interpolateur de degré $\leq 3$ ?

Un polynôme de degré $\leq n$ est déterminé de façon unique par $n+1$ points distincts. Pour $n=3$, il faut donc $4$ points.

Vrai ou faux : le polynôme de Lagrange $L_i$ vaut $1$ en $x_i$ et $0$ en tous les autres points d'interpolation.

Vrai. C'est exactement la propriété de construction : $L_i(x_j)=\delta_{ij}$, qui vaut $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.

Calculer le polynôme interpolateur de degré $\leq1$ passant par $(0,2)$ et $(1,5)$.

Pour deux points, le polynôme interpolateur de degré $\leq1$ est la droite les reliant. Pente $=\dfrac{5-2}{1-0}=3$. $P(x) = 2+3x$. Vérification : $P(0)=2$ ✓, $P(1)=5$ ✓.

Vrai ou faux : l'erreur d'interpolation est nulle aux points d'interpolation $x_i$.

Vrai. Par construction, $P(x_i)=y_i=f(x_i)$ exactement, et la formule du reste $f(x)-P(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod(x-x_i)$ s'annule bien en $x=x_j$ car le produit contient le facteur $(x_j-x_j)=0$.

Construire le polynôme de Lagrange $L_0(x)$ pour les points $x_0=1$, $x_1=2$, $x_2=4$.

$L_0(x) = \dfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} = \dfrac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)} = \dfrac{(x-2)(x-4)}{3}$.

Déterminer le polynôme interpolateur de degré $\leq2$ passant par $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,4)$, et reconnaître une fonction usuelle.

On cherche $P(x)=ax^2+bx+c$. $P(0)=0 \Rightarrow c=0$. $P(1)=1 \Rightarrow a+b=1$. $P(2)=4 \Rightarrow 4a+2b=4 \iff 2a+b=2$. En soustrayant la première équation : $(2a+b)-(a+b)=2-1 \iff a=1$, donc $b=0$. $P(x)=x^2$. C'est cohérent : les points donnés sont exactement ceux de la fonction $f(x)=x^2$, et comme $f$ est elle-même un polynôme de degré $2$, l'interpolation la retrouve exactement (l'erreur d'interpolation est nulle partout car $f^{(3)}=0$).

Vrai ou faux : augmenter le nombre de points d'interpolation équirépartis garantit toujours une meilleure approximation de la fonction sur tout l'intervalle.

Faux. C'est le phénomène de Runge : pour certaines fonctions (par exemple $f(x)=1/(1+25x^2)$ sur $[-1,1]$), augmenter le degré du polynôme interpolateur avec des points équirépartis fait au contraire exploser l'erreur près des bords de l'intervalle.

Pour $f(x)=\ln(x)$, on interpole aux points $x_0=1$, $x_1=2$ par une droite. Majorer l'erreur en $x=1{,}5$ sachant que $|f''(x)|\leq1$ sur $[1,2]$.

La formule du reste donne $|f(1{,}5)-P(1{,}5)| \leq \dfrac{\max|f''|}{2!}\,|1{,}5-1|\,|1{,}5-2| \leq \dfrac{1}{2}\times0{,}5\times0{,}5 = 0{,}125$.

Montrer que la somme $\sum_{i=0}^n L_i(x)$ vaut $1$ pour tout $x$ (indication : interpoler la fonction constante $1$).

Considérons la fonction constante $f\equiv1$. Elle vérifie $f(x_i)=1$ pour tout $i=0,\ldots,n$. Son polynôme interpolateur (de degré $\leq n$) associé à ces $n+1$ points est, par la formule de Lagrange, $P(x)=\sum_{i=0}^n 1\cdot L_i(x) = \sum_i L_i(x)$. Mais le polynôme constant $Q(x)=1$ (de degré $0\leq n$) interpole évidemment aussi ces mêmes points ($Q(x_i)=1$ pour tout $i$). Par unicité du polynôme interpolateur de degré $\leq n$, on a $P=Q$, c'est-à-dire $\sum_{i=0}^n L_i(x) = 1$ pour tout $x$. C'est une identité remarquable, utile pour vérifier des calculs de polynômes de Lagrange.

Soit $f$ un polynôme de degré $\leq n$. Montrer que son polynôme interpolateur de Lagrange en $n+1$ points distincts quelconques est $f$ lui-même (et donc l'erreur d'interpolation est nulle).

Par définition, le polynôme interpolateur $P$ associé aux points $(x_i,f(x_i))_{0\leq i\leq n}$ est l'unique polynôme de degré $\leq n$ tel que $P(x_i)=f(x_i)$ pour tout $i$. Or $f$ est elle-même un polynôme de degré $\leq n$ et vérifie trivialement $f(x_i)=f(x_i)$. Par l'unicité du théorème d'interpolation, on a donc $P=f$. Conséquence : l'erreur d'interpolation pour un polynôme de degré $\leq n$ interpolé en $n+1$ points est identiquement nulle, ce qui est cohérent avec la formule du reste $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod(x-x_i)$, où $f^{(n+1)}=0$ puisque $\deg f\leq n$.

Construire le polynôme de Lagrange interpolant $(0,1)$, $(1,2)$, $(-1,2)$.

Posons $P(x)=ax^2+bx+c$. $P(0)=1\Rightarrow c=1$. $P(1)=2\Rightarrow a+b+c=2\Rightarrow a+b=1$. $P(-1)=2\Rightarrow a-b+c=2\Rightarrow a-b=1$. En ajoutant les deux dernières équations : $2a=2\Rightarrow a=1$, puis $b=0$. $P(x)=x^2+1$. Vérification : $P(0)=1$ ✓, $P(1)=2$ ✓, $P(-1)=2$ ✓.

Pourquoi dit-on que la formule de Lagrange est coûteuse à mettre à jour lorsqu'on ajoute un nouveau point d'interpolation ?

Chaque polynôme de base $L_i(x) = \prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ dépend explicitement de tous les points $x_0,\ldots,x_n$ déjà présents. Si l'on ajoute un nouveau point $x_{n+1}$, chaque $L_i$ doit être recalculé (un facteur supplémentaire apparaît au numérateur et au dénominateur). Il n'y a donc aucune réutilisation des calculs précédents. C'est pourquoi, en pratique numérique, on utilise plutôt la forme de Newton par différences divisées, qui permet d'ajouter un point en ajoutant simplement un terme supplémentaire à une somme déjà calculée, sans tout recommencer.

Soit $f(x)=\cos(x)$ interpolée par un polynôme de degré $\leq4$ en $5$ points sur $[0,\pi]$. Sachant que $|f^{(5)}(x)|=|\sin(x)|\leq1$, donner la forme générale de la borne d'erreur (sans calcul numérique complet).

La formule générale du reste donne $|f(x)-P(x)| \leq \dfrac{\max|f^{(5)}|}{5!}\,\left|\prod_{i=0}^4(x-x_i)\right| \leq \dfrac{1}{120}\left|\prod_{i=0}^4(x-x_i)\right|$, en utilisant $\max|f^{(5)}|=\max|\sin|\leq1$ et $5!=120$. La majoration précise dépend ensuite du choix des $5$ points $x_i$ et de la position de $x$.

Vrai ou faux : si les $y_i$ d'un jeu de points sont tous égaux à une constante $c$, le polynôme interpolateur est le polynôme constant $P(x)=c$.

Vrai. Le polynôme constant $P(x)=c$ vérifie bien $P(x_i)=c=y_i$ pour tout $i$, et il est de degré $0\leq n$. Par unicité du polynôme interpolateur de degré $\leq n$, c'est forcément lui (on retrouve aussi ce résultat via $P(x)=\sum_i c\, L_i(x) = c\sum_i L_i(x) = c\times1=c$, en utilisant l'identité $\sum L_i=1$ vue précédemment).

Expliquer en une phrase pourquoi l'interpolation par morceaux (splines, par exemple linéaires ou cubiques) est souvent préférée à l'interpolation par un seul polynôme de haut degré pour un grand nombre de points.

Un polynôme unique de degré élevé passant par de nombreux points a tendance à osciller fortement entre les points de contrôle (phénomène de Runge), surtout près des bords, et peut être numériquement instable (sensibilité aux erreurs d'arrondi, voir la dernière leçon de ce cours). L'interpolation par morceaux (splines) utilise des polynômes de bas degré sur chaque sous-intervalle, raccordés avec une certaine régularité (continuité de la fonction, parfois de sa dérivée) : cela évite les oscillations globales et donne une approximation beaucoup plus stable et fidèle, ce qui explique son usage quasi systématique en pratique (graphisme, CAO, analyse numérique appliquée).