Angles correspondants et alternes-internes

Introduction

Depuis la 6ème, tu sais reconnaître si deux droites semblent parallèles sur une figure. En 4ème, on va apprendre à démontrer qu'elles le sont vraiment, grâce à des angles particuliers formés par une troisième droite, appelée sécante.

Une sécante commune à deux droites

Une sécante à deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ est une troisième droite $(\Delta)$ qui coupe chacune d'elles. Elle crée alors deux points d'intersection, et donc deux « croisements », chacun formant 4 angles.

On obtient ainsi 8 angles en tout (4 angles à chaque point d'intersection), que l'on compare deux à deux selon leur position.

Les angles correspondants

📌 Définition — Angles correspondants

Deux angles formés par une sécante $(\Delta)$ avec deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont correspondants s'ils sont situés :

- du même côté de la sécante $(\Delta)$ ;

- de la même position par rapport à chacune des deux droites (par exemple, tous les deux « au-dessus » de leur droite).

Propriété (admise) : Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants formés par une sécante sont égaux.

Les angles alternes-internes

📌 Définition — Angles alternes-internes

Deux angles formés par une sécante $(\Delta)$ avec deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont alternes-internes s'ils sont situés :

- de part et d'autre de la sécante $(\Delta)$ (« alterne ») ;

- entre les deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ (« interne »).

Propriété (admise) : Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes formés par une sécante sont égaux.

📌 Méthode — Reconnaître le type d'angles

1. Repérer la sécante commune $(\Delta)$ et ses deux points d'intersection avec $(d_1)$ et $(d_2)$.

2. Si les deux angles sont du même côté de $(\Delta)$ et à la même position relative : ce sont des angles correspondants.

3. Si les deux angles sont de part et d'autre de $(\Delta)$ et entre les deux droites : ce sont des angles alternes-internes.

Exemples

✅ Exemple simple — Reconnaître des angles correspondants

Une sécante $(\Delta)$ coupe deux droites parallèles $(d_1)$ et $(d_2)$. L'angle $\widehat{x}$ en haut à droite du premier croisement et l'angle $\widehat{y}$ en haut à droite du second croisement sont correspondants (même côté de la sécante, même position « en haut à droite »).

Comme $(d_1) \parallel (d_2)$, on conclut directement : $\widehat{x} = \widehat{y}$.

📘 Exemple intermédiaire — Calculer un angle alterne-interne

$(d_1) \parallel (d_2)$ et une sécante $(\Delta)$ les coupe. Un angle alterne-interne mesure $\widehat{a} = 118°$. L'autre angle alterne-interne $\widehat{b}$ vaut alors :

car les droites sont parallèles, donc les angles alternes-internes formés par la sécante sont égaux.

🔴 Exemple avancé — Combiner angles alternes-internes et angles supplémentaires

$(d_1) \parallel (d_2)$, sécante $(\Delta)$. L'angle $\widehat{m} = 65°$ et l'angle $\widehat{n}$ est son alterne-interne. L'angle $\widehat{p}$ est adjacent à $\widehat{n}$ sur la droite $(d_2)$ (ils forment ensemble un angle de $180°$, car ils sont sur une même droite).

Étape 1 : Comme $(d_1) \parallel (d_2)$, $\widehat{n} = \widehat{m} = 65°$ (alternes-internes).

Étape 2 : $\widehat{n}$ et $\widehat{p}$ sont supplémentaires (ils forment un angle plat) :

À retenir

- Une sécante est une droite qui coupe deux autres droites, créant 8 angles à comparer deux à deux.
- Des angles correspondants sont du même côté de la sécante, à la même position par rapport à chaque droite.
- Des angles alternes-internes sont de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites.
- Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants (ou alternes-internes) formés par une sécante sont égaux.