Anneaux et idéaux

Vrai ou faux : $\mathbb{Z}$ est un corps.

Faux. $\mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais pas un corps : $2\in\mathbb{Z}$ n'a pas d'inverse dans $\mathbb{Z}$ ($1/2\notin\mathbb{Z}$).

Vrai ou faux : Tout sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ est de la forme $n\mathbb{Z}$.

Vrai. $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe abélien monogène. Tout sous-groupe est cyclique, donc de la forme $n\mathbb{Z}=\{nk:k\in\mathbb{Z}\}$ pour un certain $n\geq0$.

$2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}$ est égal à :

$2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}=\text{pgcd}(2,3)\mathbb{Z}=1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ (car Bézout : $1=3-2$ est une combinaison).

Vrai ou faux : $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps ssi $p$ est premier.

Vrai. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est intègre ssi $p$ est premier. Pour un anneau fini, intégrité $\Leftrightarrow$ corps.

Quel est le plus petit idéal de $\mathbb{Z}$ contenant $6$ et $10$ ?

Le plus petit idéal contenant $a$ et $b$ est $\text{pgcd}(a,b)\mathbb{Z}$. $\text{pgcd}(6,10)=2$. Donc c'est $2\mathbb{Z}$.

Montrer que $n\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$.

Vérification :
1. Sous-groupe : $0=n\times0\in n\mathbb{Z}$. Si $nk,nl\in n\mathbb{Z}$, $nk-nl=n(k-l)\in n\mathbb{Z}$.
2. Absorption : $\forall a\in\mathbb{Z}$, $\forall nk\in n\mathbb{Z}$: $a\cdot nk=n(ak)\in n\mathbb{Z}$ et $nk\cdot a=n(ka)\in n\mathbb{Z}$.

Donc $n\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$. $\square$

Vrai ou faux : Tout idéal de $\mathbb{Z}$ est principal.

Vrai. $\mathbb{Z}$ est un anneau principal (anneau euclidien donc principal). Tout idéal $I$ de $\mathbb{Z}$ est de la forme $n\mathbb{Z}$ où $n$ est le plus petit élément strictement positif de $I$.

Quel est le noyau du morphisme $\varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, $n\mapsto\bar n$ ?

$\ker\varphi=\{n\in\mathbb{Z}:\bar n=\bar0\}=\{n:5\mid n\}=5\mathbb{Z}$.

Vrai ou faux : Si $I$ est un idéal maximal de $A$, alors $A/I$ est un corps.

Vrai pour un anneau commutatif. $I$ maximal $\Leftrightarrow$ $A/I$ est un corps (aucun idéal entre $I$ et $A$ $\Leftrightarrow$ $A/I$ n'a pas d'idéal non trivial $\Leftrightarrow$ corps).

Vrai ou faux : Dans $\mathbb{Z}$, $p\mathbb{Z}$ est un idéal maximal ssi $p$ est premier.

Vrai. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps ssi $p$ est premier. Et $p\mathbb{Z}$ est maximal ssi $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps.

Montrer que tout corps est intègre.

Preuve :

Soit $K$ un corps et $ab=0$ avec $a\neq0$.

$a$ est inversible (car $a\neq0$ dans un corps). Multipliant par $a^{-1}$ :
$a^{-1}(ab)=(a^{-1}a)b=1\cdot b=b$.

Et $a^{-1}\cdot0=0$.

Donc $b=0$. $K$ est intègre. $\square$

Vrai ou faux : $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)\cong\mathbb{C}$.

Vrai. $(X^2+1)$ est un idéal maximal de $\mathbb{R}[X]$ (car $X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb{R}$). Le quotient est un corps contenant $\mathbb{R}$ et un élément $i=\bar X$ avec $i^2=-1$, d'où $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)\cong\mathbb{C}$.

Montrer que si $A$ est un anneau intègre et $a,b\in A$ avec $ab=0$, la seule possibilité est $a=0$ ou $b=0$.

C'est la définition d'un anneau intègre : un anneau commutatif $A$ est dit intègre si $ab=0\Rightarrow a=0$ ou $b=0$ (absence de diviseurs de zéro non triviaux). Cette propriété est exactement ce qu'on cherche à montrer — la question demande de comprendre la définition. $\square$

Quel est l'idéal engendré par $4$ et $6$ dans $\mathbb{Z}$ ?

$\langle4,6\rangle=\{4a+6b:a,b\in\mathbb{Z}\}$.

$\text{pgcd}(4,6)=2$. Par Bézout, $2=6-4\in\langle4,6\rangle$.

Réciproquement, $\langle4,6\rangle\subset2\mathbb{Z}$ car $2\mid4$ et $2\mid6$.

Donc $\langle4,6\rangle=2\mathbb{Z}$.

Vrai ou faux : Dans un anneau principal, tout idéal premier non nul est maximal.

Vrai. Dans un anneau principal $A$, $\langle p\rangle$ est premier non nul $\Leftrightarrow$ $p$ est irréductible $\Leftrightarrow$ $\langle p\rangle$ est maximal. (Dans $\mathbb{Z}$ : $p\mathbb{Z}$ premier non nul $\Leftrightarrow$ $p$ premier $\Leftrightarrow$ $p\mathbb{Z}$ maximal.)