Combinaisons et coefficients binomiaux

Choisir sans ordonner

Dans les arrangements, l'ordre des éléments choisis avait de l'importance (1er, 2e, 3e...). On s'intéresse maintenant aux situations où seul le groupe d'éléments choisis compte, sans tenir compte de l'ordre.

### Définition

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p$ un entier tel que $0\leqslant p\leqslant n$ . Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous-ensemble (une partie) de $E$ contenant exactement $p$ éléments, sans tenir compte de l'ordre.

> Coefficient binomial : le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est noté $\dbinom{n}{p}$ et vaut :
>

\dbinom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}

Lien avec les arrangements : un arrangement de $p$ éléments parmi $n$ consiste à choisir $p$ éléments (combinaison) puis à les ordonner ( $p!$ façons de les ordonner). On a donc :

A_n^p = \dbinom{n}{p}\times p! \quad\Longrightarrow\quad \dbinom{n}{p} = \dfrac{A_n^p}{p!} = \dfrac{n!}{(n-p)!\,p!}

### Exemple complet

Énoncé : dans une classe de 25 élèves, on souhaite former un groupe de 4 délégués (sans rôle distinct entre eux : pas de président, juste 4 personnes). Combien de groupes différents sont possibles ?

Résolution : ici l'ordre n'a pas d'importance (un groupe {Alice, Bob, Chloé, David} est le même groupe quel que soit l'ordre dans lequel on les cite). On utilise donc une combinaison avec $n=25$ et $p=4$ :

\dbinom{25}{4} = \dfrac{25!}{4!\times 21!} = \dfrac{25\times24\times23\times22}{4\times3\times2\times1} = \dfrac{303\,600}{24} = 12\,650

Il existe donc $12\,650$ groupes de 4 délégués possibles.

### Propriétés des coefficients binomiaux

> Propriétés à connaître :
>

\dbinom{n}{0} = 1 \qquad \dbinom{n}{n} = 1 \qquad \dbinom{n}{1} = n

\dbinom{n}{p} = \dbinom{n}{n-p} \quad \text{(symétrie)}

\dbinom{n}{p} + \dbinom{n}{p+1} = \dbinom{n+1}{p+1} \quad \text{(formule de Pascal)}

La formule de Pascal permet de construire le triangle de Pascal, où chaque coefficient binomial s'obtient en additionnant les deux coefficients juste au-dessus de lui :

| $n\backslash p$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | | | | |
| 1 | 1 | 1 | | | |
| 2 | 1 | 2 | 1 | | |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |

### Lien avec la loi binomiale

Vous avez déjà rencontré les coefficients binomiaux dans le calcul des probabilités d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (probabilité de succès), alors pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ :

P(X=k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}

Le terme $\dbinom{n}{k}$ compte exactement le nombre de façons de choisir lesquels, parmi les $n$ répétitions de l'épreuve, sont les $k$ succès — sans tenir compte de l'ordre dans lequel ils surviennent. La combinatoire est donc la justification profonde de cette formule.

### Méthode

1. Si l'ordre des éléments choisis n'a pas d'importance : c'est une combinaison, on utilise $\dbinom{n}{p}$ .
2. Vérifier si l'ordre compte (arrangement, $A_n^p$ ) ou non (combinaison, $\dbinom{n}{p}$ ) avant de se lancer dans le calcul — c'est l'erreur la plus fréquente.
3. Utiliser les propriétés (symétrie, Pascal) pour simplifier les calculs ou vérifier un résultat.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Calculer $\dbinom{6}{2}$ .

Corrigé

$\dbinom{6}{2} = \dfrac{6!}{2!\times4!} = \dfrac{6\times5}{2\times1} = 15$ .

Exercice 2

Pour choisir un comité de 3 personnes parmi 10, sans rôle distinct entre les membres, on doit utiliser un arrangement $A_{10}^3$ plutôt qu'une combinaison $\dbinom{10}{3}$ .

Corrigé

Puisque les membres du comité n'ont pas de rôle distinct, l'ordre n'a pas d'importance : il faut utiliser la combinaison $\dbinom{10}{3}$ , pas l'arrangement.

Exercice 3

Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On tire simultanément 5 boules (tirage simultané, donc sans ordre et sans répétition). Combien de tirages différents sont possibles ?

Corrigé

Un tirage simultané ne tient pas compte de l'ordre : c'est une combinaison. $\dbinom{12}{5} = \dfrac{12!}{5!\times7!} = 792$ .

Exercice 4

Démontrer la propriété de symétrie $\dbinom{n}{p} = \dbinom{n}{n-p}$ à partir de la formule $\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$ , puis l'utiliser pour calculer $\dbinom{20}{18}$ rapidement.

Corrigé

La démonstration algébrique utilise simplement la symétrie de l'expression $p!(n-p)!$ ; l'application numérique évite de calculer $18!$ en se ramenant au calcul plus simple de $\dbinom{20}{2}$ .

Exercice 5

Une urne contient 5 boules rouges et 7 boules vertes (12 boules au total, toutes discernables). On tire simultanément 4 boules. Calculer le nombre de tirages contenant exactement 2 boules rouges et 2 boules vertes, puis en déduire, en lien avec la loi binomiale, la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges si l'on effectue plutôt 4 tirages successifs avec remise d'une seule boule (la probabilité de tirer une boule rouge étant alors $\frac{5}{12}$ à chaque tirage).

Corrigé

La première partie combine deux combinaisons indépendantes (rouges et vertes) via le principe multiplicatif. La seconde partie réutilise le coefficient binomial dans son rôle naturel au sein de la loi binomiale, ce qui relie explicitement dénombrement et probabilités.

AlphaMath Académie · Combinaisons et coefficients binomiaux · Combinatoire et dénombrement