Calculer une longueur avec le cosinus

Calculer une longueur

Connaissant un angle et l'hypoténuse, on peut calculer le côté adjacent :

\text{adjacent} = \cos(\widehat{B}) \times \text{hypoténuse}

Exemple : Dans un triangle rectangle, $BC = 8$ cm et $\widehat{B} = 60°$ . Calculons $AB$ :

AB = \cos(60°) \times BC = 0{,}5 \times 8 = 4 \text{ cm}

Calculer l'hypoténuse

Si on connaît l'angle et le côté adjacent :

\text{hypoténuse} = \frac{\text{adjacent}}{\cos(\widehat{B})}

Exemple : $AB = 5$ cm, $\widehat{B} = 45°$ :

BC = \frac{AB}{\cos(45°)} = \frac{5}{0{,}707} \approx 7{,}07 \text{ cm}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un triangle rectangle, $BC = 10$ cm et $\widehat{B} = 60°$ (avec $\cos(60°) = 0{,}5$ ). Que vaut $AB$ ?

Corrigé

$AB = \cos(\widehat{B}) \times BC = 0{,}5 \times 10 = 5$ cm.

Exercice 2

Pour calculer le côté adjacent, on utilise la formule :

Corrigé

Par définition, $\cos(\widehat{B}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , donc adjacent $= \cos(\widehat{B}) \times$ hypoténuse.

Exercice 3

Pour trouver l'hypoténuse à partir du côté adjacent et de l'angle, on multiplie l'adjacent par le cosinus.

Corrigé

Il faut diviser l'adjacent par le cosinus : hypoténuse $= \frac{\text{adjacent}}{\cos(\widehat{B})}$ , pas multiplier.

Exercice 4

$AB = 6$ cm, $\widehat{B} = 30°$ (avec $\cos(30°) \approx 0{,}866$ ). Calculer $BC$ (au centième).

Corrigé

$BC = \frac{AB}{\cos(\widehat{B})} = \frac{6}{0{,}866} \approx 6{,}93$ cm.

Exercice 5

Une échelle de $4$ m est posée contre un mur et forme un angle de $20°$ avec le mur (vertical). À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ? ( $\cos(20°) \approx 0{,}94$ )

Corrigé

On identifie l'hypoténuse (l'échelle) et on applique la formule adjacent $= \cos(\text{angle}) \times$ hypoténuse pour trouver la hauteur sur le mur.

AlphaMath Académie · Calculer une longueur avec le cosinus · Cosinus dans le triangle rectangle