Applications : équations de tangentes et lecture graphique

Méthode générale pour une tangente

Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ :

1. Calculer $f(a)$ .
2. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ , puis $f'(a)$ .
3. Écrire l'équation : $y = f'(a)(x-a)+f(a)$ , puis développer si besoin.

Exemple complet

Soit $f(x)=x^2-4x+1$ , et on cherche la tangente en $a=1$ .

- $f'(x) = 2x-4$
- $f(1) = 1-4+1=-2$
- $f'(1) = 2-4=-2$

T: y = -2(x-1)-2 = -2x+2-2 = -2x

Lien tangente et variations

Si $f'(a) > 0$ , la tangente en $a$ est croissante, et $f$ est localement croissante autour de $a$ .

Si $f'(a) < 0$ , la tangente en $a$ est décroissante, et $f$ est localement décroissante autour de $a$ .

Si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale : $a$ est un candidat à être un extremum local de $f$ .

Ce lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction sera développé dans le chapitre suivant sur l'étude de fonctions.

Lecture graphique du nombre dérivé

Sur un graphique, $f'(a)$ se lit comme le coefficient directeur de la tangente tracée au point d'abscisse $a$ : si la tangente passe par deux points lisibles sur le quadrillage $(x_1\,;\,y_1)$ et $(x_2\,;\,y_2)$ , alors :

f'(a) = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Astuce : une tangente "qui monte d'une unité quand $x$ augmente de deux" a un coefficient directeur (donc un nombre dérivé) égal à $\dfrac{1}{2}$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Sur la courbe d'une fonction $f$ , la tangente au point d'abscisse $2$ passe par les points $(2\,;\,3)$ et $(4\,;\,7)$ . Quelle est la valeur de $f'(2)$ ?

Corrigé

$f'(2) = \dfrac{7-3}{4-2} = \dfrac{4}{2} = 2$ .

Exercice 2

Si $f'(a) > 0$ , alors $f$ est localement décroissante au voisinage de $a$ .

Corrigé

Si $f'(a)>0$ , la tangente est croissante et $f$ est localement croissante autour de $a$ , pas décroissante.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^2$ . En quel point la tangente à la courbe de $f$ est-elle horizontale ?

Corrigé

$f'(x)=2x$ s'annule uniquement en $x=0$ ; c'est là que la tangente est horizontale (le sommet de la parabole).

Exercice 4

Soit $f(x) = x^2+2x-3$ . Détermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a=0$ .

Corrigé

On suit la méthode en trois étapes : dériver, évaluer en $a$ , puis écrire l'équation de la tangente.

Exercice 5

Soit $f(x) = x^2-6x+10$ . Détermine les coordonnées du point de la courbe de $f$ où la tangente est horizontale, puis donne l'équation de cette tangente.

Corrigé

On résout $f'(x)=0$ pour trouver l'abscisse du point à tangente horizontale, puis on calcule l'ordonnée pour obtenir l'équation $y=f(a)$ .

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