Fonction dérivée et dérivées des fonctions usuelles

Fonction dérivée

Si $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$ , la fonction qui associe à chaque $x$ de $I$ le nombre $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ .

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction

f

Dérivée

f'

Ensemble de validité

|---|---|---|

$f(x)=k$ (constante)	$f'(x)=0$	$\mathbb{R}$
$f(x)=x$	$f'(x)=1$	$\mathbb{R}$
$f(x)=x^2$	$f'(x)=2x$	$\mathbb{R}$
$f(x)=x^n$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ )	$f'(x)=nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$f(x)=\sqrt{x}$	$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$	$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;\,0[\cup]0\,;\,+\infty[$

Opérations sur les dérivées

Pour $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et $k$ une constante réelle :

( u+v)' = u'+v' \qquad (ku)' = ku' \qquad (uv)' = u'v+uv'

Exemple (somme)

$f(x) = x^2+3x-5 \implies f'(x) = 2x+3$ (la dérivée de $-5$ est $0$ ).

Exemple (produit)

$f(x) = (2x+1)(x-3)$ . On pose $u(x)=2x+1$ (donc $u'(x)=2$ ) et $v(x)=x-3$ (donc $v'(x)=1$ ) :

f'(x) = u'v+uv' = 2(x-3)+(2x+1)\times1 = 2x-6+2x+1 = 4x-5

Vérification : en développant, $f(x)=2x^2-5x-3$ , donc $f'(x)=4x-5$ . Cohérent !

Exemple (constante fois fonction)

$f(x) = 5x^3 \implies f'(x) = 5\times 3x^2 = 15x^2$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

La dérivée de $f(x) = x^5$ est :

Corrigé

Pour $f(x)=x^n$ , $f'(x)=nx^{n-1}$ , donc ici $f'(x)=5x^4$ .

Exercice 2

La dérivée d'une fonction constante est toujours nulle.

Corrigé

Si $f(x)=k$ , sa courbe est une droite horizontale, de coefficient directeur nul partout : $f'(x)=0$ .

Exercice 3

Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?

Corrigé

C'est une formule du cours : $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ .

Exercice 4

Calcule la dérivée de $f(x) = 4x^3-2x^2+7x-1$ .

Corrigé

On applique la règle de dérivation de $x^n$ à chaque terme, en gardant les coefficients constants.

Exercice 5

Soit $f(x) = (x^2+1)(3x-2)$ . Calcule $f'(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un produit, puis vérifie le résultat en développant $f(x)$ avant de dériver.

Corrigé

On applique la formule $(uv)'=u'v+uv'$ puis on confirme par un développement direct, ce qui est une bonne pratique de vérification.

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