Nombre dérivé et tangente

Taux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et $a$ , $a+h$ deux réels de $I$ (avec $h\neq 0$ ). Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :

\tau(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

C'est le coefficient directeur de la droite passant par les points $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a+h\,;\,f(a+h))$ de la courbe, appelée droite sécante.

Nombre dérivé

Si le taux de variation $\tau(h)$ a une limite finie quand $h$ tend vers $0$ , on dit que $f$ est dérivable en $a$ , et cette limite est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Exemple

Pour $f(x)=x^2$ et $a=3$ :

\tau(h) = \dfrac{(3+h)^2-3^2}{h} = \dfrac{9+6h+h^2-9}{h} = \dfrac{6h+h^2}{h} = 6+h

Quand $h\to 0$ , $\tau(h) \to 6$ . Donc $f'(3) = 6$ .

Tangente à une courbe

Quand $h$ tend vers $0$ , la droite sécante $(AM)$ « pivote » autour de $A$ et se rapproche d'une position limite : la tangente à la courbe au point $A$ .

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$ :

$T : y = f'(a)(x-a)+f(a)$

Exemple (suite)

Pour $f(x)=x^2$ , $a=3$ : $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ , donc la tangente en $A(3\,;\,9)$ a pour équation :

y = 6(x-3)+9 = 6x-18+9 = 6x-9

Remarque : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$ . Si $f'(a)=0$ , la tangente est horizontale.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Le nombre dérivé $f'(a)$ représente géométriquement :

Corrigé

$f'(a)$ est par définition le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ .

Exercice 2

Si $f'(a) = 0$ , alors la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est horizontale.

Corrigé

Une tangente de coefficient directeur nul est une droite horizontale.

Exercice 3

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est défini par :

Corrigé

C'est la définition du taux de variation, coefficient directeur de la sécante $(AM)$ .

Exercice 4

Calcule le nombre dérivé de $f(x)=x^2$ en $a=-1$ en revenant à la définition (calcul du taux de variation puis de sa limite).

Corrigé

On forme le taux de variation, on factorise pour éliminer $h$ au dénominateur, puis on fait tendre $h$ vers $0$ .

Exercice 5

Soit $f(x) = x^2-3x+2$ . On admet que $f'(x) = 2x-3$ . Détermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a=2$ .

Corrigé

On applique directement la formule $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ après avoir calculé $f(a)$ et $f'(a)$ .

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