Dérivée d'une fonction composée

Fonction composée

Une fonction composée s'écrit $f(x) = g(u(x))$ , c'est-à-dire qu'on applique d'abord $u$ , puis $g$ . On note parfois $f = g \circ u$ .

Formule de dérivation d'une fonction composée :

$f'(x) = u'(x) \times g'(u(x))$

Cas particuliers à connaître

Fonction

f(x)

Dérivée

f'(x)

|---|---|

$u(x)^n$ ( $n$ entier)	$n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}$
$\sqrt{u(x)}$	$\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$
$\dfrac{1}{u(x)}$	$-\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}$
$e^{u(x)}$	$u'(x) \times e^{u(x)}$
$\ln(u(x))$	$\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Exemple : soit

f(x) = (3x+1)^2

. On pose

u(x) = 3x+1

, donc

u'(x)=3

. Avec

n=2

f'(x) = 2\times 3\times(3x+1) = 6(3x+1) = 18x+6

Vérification : en développant directement, $f(x) = 9x^2+6x+1$ , donc $f'(x) = 18x+6$ . Cela confirme le résultat.

Méthode

1. Identifier la fonction "intérieure" $u(x)$ et la fonction "extérieure" $g$ .
2. Calculer $u'(x)$ .
3. Appliquer la formule correspondante du tableau ci-dessus (ou la formule générale $u'(x)\times g'(u(x))$ ).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{2x}$ ?

Corrigé

Avec $u(x)=2x$ , $u'(x)=2$ , donc $f'(x) = u'(x)\times e^{u(x)} = 2e^{2x}$ .

Exercice 2

La dérivée de $\sqrt{u(x)}$ est $\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ .

Corrigé

C'est la formule usuelle de dérivation de la composée par la fonction racine carrée.

Exercice 3

Calcule la dérivée de $f(x) = (2x-1)^3$ .

Corrigé

On applique directement la formule de dérivation de $u^n$ avec $u(x)=2x-1$ et $n=3$ .

Exercice 4

Calcule la dérivée de $f(x) = \ln(x^2+1)$ .

Corrigé

On applique la formule de dérivation du logarithme composé, en remarquant que le dénominateur $u(x)=x^2+1$ ne s'annule jamais, ce qui assure que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 5

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ . Quelle est sa dérivée ?

Corrigé

Avec $u(x)=x^2+1$ , $u'(x)=2x$ , on applique $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2} = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

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