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Terminale · Dérivation et convexité

Dérivée seconde et convexité

La dérivée seconde

La dérivée seconde de ff, notée f′′f'', est la dérivée de la fonction dérivée f′f' :

f′′(x)=(f′)′(x)f''(x) = (f')'(x)

Exemple : si f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x, alors f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2-3, et f′′(x)=6xf''(x) = 6x.

Convexité et concavité

Définition graphique : une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle (la courbe "se creuse vers le haut", comme un bol).

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Une fonction est concave si sa courbe est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes (comme un dôme).

Théorème (lien avec f′′f'') :

- ff est convexe sur II si et seulement si f′′(x)⩾0f''(x) \geqslant 0 pour tout x∈Ix \in I ;

- ff est concave sur II si et seulement si f′′(x)⩽0f''(x) \leqslant 0 pour tout x∈Ix \in I.

Concrètement, étudier le signe de f′′f'' permet de déterminer la convexité de ff, exactement comme on étudie le signe de f′f' pour déterminer ses variations.

Point d'inflexion

Définition : un point d'inflexion est un point où la courbe de ff change de convexité (passe de convexe à concave, ou inversement). En un point d'inflexion aa, f′′(a)=0f''(a)=0 et f′′f'' change de signe en aa.

Exemple : pour f(x)=x3f(x)=x^3, f′′(x)=6xf''(x)=6x s'annule en x=0x=0 et change de signe (négatif avant, positif après). Le point (0;0)(0;0) est donc un point d'inflexion de la courbe de ff.

Attention : f′′(a)=0f''(a)=0 seul ne suffit pas à garantir un point d'inflexion ; il faut vérifier que f′′f'' change réellement de signe autour de aa.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Une fonction ff est convexe sur un intervalle II si et seulement si :

Corrigé

La convexité est caractérisée par une dérivée seconde positive ou nulle sur l'intervalle : f′′(x)⩾0f''(x)\geqslant 0.

Exercice 2

En un point d'inflexion, la dérivée seconde s'annule et change de signe.

Corrigé

C'est la définition même d'un point d'inflexion : f′′f'' change de signe (passe de positif à négatif, ou l'inverse), donc f′′(a)=0f''(a)=0 au point de transition.

Exercice 3

Soit f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. Calcule f′′(x)f''(x) et détermine la convexité de ff sur R\mathbb{R}.

Corrigé

On calcule f′′f'' puis on étudie son signe par un simple facteur affine ; le changement de signe en x=2x=2 caractérise le point d'inflexion.

Exercice 4

Soit f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. On donne f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2xe^{-x^2}. Calcule f′′(x)f''(x) et montre que x=12x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} correspond à un changement de convexité (on admettra que c'est aussi le cas en x=−12x=-\dfrac{1}{\sqrt2}).

Corrigé

On utilise la formule de dérivation d'un produit pour obtenir f′′f'', on factorise par le terme exponentiel toujours positif, puis on étudie le signe du polynôme restant.

Exercice 5

Soit f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2+4x. La fonction ff est :

Corrigé

On a f′(x)=−2x+4f'(x)=-2x+4 et f′′(x)=−2<0f''(x)=-2<0 pour tout xx, donc ff est concave sur R\mathbb{R} tout entier.

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