Position de la courbe par rapport à la tangente

Équation de la tangente

Au point d'abscisse $a$ , la tangente à la courbe de $f$ a pour équation :

y = f'(a)(x-a) + f(a)

Position de la courbe par rapport à la tangente

Théorème : soit $T$ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ .

- Si $f$ est convexe sur un intervalle contenant $a$ , alors la courbe de $f$ est au-dessus de $T$ sur cet intervalle.

- Si $f$ est concave sur un intervalle contenant $a$ , alors la courbe de $f$ est au-dessous de $T$ sur cet intervalle.

- En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente : elle passe d'un côté à l'autre de $T$ .

Méthode pour étudier la position

Pour comparer $f(x)$ et la tangente $T(x) = f'(a)(x-a)+f(a)$ , on étudie le signe de la différence $g(x) = f(x) - T(x)$ :

- si $g(x) \geqslant 0$ sur un intervalle, la courbe est au-dessus de la tangente sur cet intervalle ;
- si $g(x) \leqslant 0$ , la courbe est au-dessous.

Exemple : pour $f(x) = x^2$ , convexe sur $\mathbb{R}$ ( $f''(x)=2>0$ ), la courbe (une parabole) est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes, en tout point.

Application classique : l'inégalité de convexité $e^x \geqslant x+1$ pour tout réel $x$ s'obtient ainsi : $f(x)=e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ( $f''(x)=e^x>0$ ), donc sa courbe est au-dessus de la tangente en $x=0$ , qui a pour équation $y=x+1$ (car $f(0)=1$ et $f'(0)=1$ ).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si une fonction est convexe sur un intervalle, sa courbe est, sur cet intervalle, par rapport à chacune de ses tangentes :

Corrigé

Une fonction convexe a une courbe entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes, par définition même de la convexité.

Exercice 2

En un point d'inflexion, la courbe d'une fonction traverse sa tangente.

Corrigé

C'est une conséquence du changement de convexité : la courbe passe d'un côté de la tangente à l'autre exactement au point d'inflexion.

Exercice 3

Démontre que pour tout réel $x$ , $e^x \geqslant x+1$ , en utilisant la convexité de la fonction exponentielle.

Corrigé

On établit la convexité de l'exponentielle via $f''(x)=e^x>0$ , on calcule l'équation de la tangente en $0$ , puis on applique le théorème de position de la courbe par rapport à la tangente.

Exercice 4

Soit $f(x) = x^3$ . Détermine l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a=1$ , puis étudie la position de la courbe par rapport à $T$ au voisinage de $x=1$ .

Corrigé

On calcule l'équation de la tangente avec $f(a)$ et $f'(a)$ , on établit la convexité locale via $f''$ , puis on conclut sur la position relative ; la factorisation de $g(x)$ confirme le résultat.

Exercice 5

Pour la fonction $f(x)=\ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ , on a $f''(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ . Que peut-on en déduire sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes ?

Corrigé

Comme $f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ pour tout $x>0$ , $f$ est concave sur $]0;+\infty[$ , donc sa courbe est toujours au-dessous de chacune de ses tangentes.

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