Dérivées de sinus et cosinus

Deux limites usuelles

Avant d'établir les formules de dérivation, on admet deux limites fondamentales, qui traduisent le comportement du cercle trigonométrique autour de $0$ :

\lim_{x\to0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \qquad\qquad \lim_{x\to0} \dfrac{\cos x - 1}{x} = 0

Idée géométrique : pour un petit angle $x$ (en radians), la longueur de l'arc de cercle, la longueur de la corde et la valeur de $\sin x$ sont presque confondues, ce qui explique que $\sin x$ se comporte comme $x$ lorsque $x$ est proche de $0$ . De même, $\cos x$ se rapproche très vite de $1$ , et la "vitesse" de ce rapprochement est nulle par rapport à $x$ .

Ces deux limites permettent de retrouver les dérivées de sinus et cosinus en $0$ , puis en tout point grâce aux formules d'addition.

## Dérivées de sinus et cosinus

> Théorème. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ , et pour tout réel $x$ :
>

(\sin x)' = \cos x \qquad\qquad (\cos x)' = -\sin x

Ces deux formules sont à connaître parfaitement : on retiendra que dériver $\sin$ donne $\cos$ , et que dériver $\cos$ donne $-\sin$ (apparition d'un signe moins).

Remarque : en dérivant une seconde fois, on retrouve $(\sin x)'' = -\sin x$ et $(\cos x)'' = -\cos x$ : chaque fonction est, à un signe près, sa propre dérivée seconde.

## Dérivée des fonctions composées $\sin(ax+b)$ et $\cos(ax+b)$

Soient $a$ et $b$ deux réels. En utilisant la formule de dérivation des fonctions composées $(u\circ v)' = v' \times u'(v)$ avec $v(x) = ax+b$ , on obtient :

\big(\sin(ax+b)\big)' = a\cos(ax+b)

\big(\cos(ax+b)\big)' = -a\sin(ax+b)

Le coefficient $a$ "sort" devant la dérivée, exactement comme pour la dérivée de $e^{ax+b}$ .

Exemple complet : soit $f(x) = \sin(2x+1) + 3\cos(x)$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

On dérive terme à terme :
- pour $\sin(2x+1)$ : ici $a=2$ , $b=1$ , donc la dérivée est $2\cos(2x+1)$ ;
- pour $3\cos(x)$ : la dérivée est $3\times(-\sin x) = -3\sin x$ .

On obtient donc :

f'(x) = 2\cos(2x+1) - 3\sin x

Calculons par exemple $f'(0)$ :

f'(0) = 2\cos(1) - 3\sin(0) = 2\cos(1)

On retrouve ainsi une valeur numérique exacte à partir d'une expression dérivée correctement construite.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = \sin x$ ?

Corrigé

La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\sin x)' = \cos x$ : c'est une formule de cours à connaître par cœur.

Exercice 2

La dérivée de la fonction cosinus fait apparaître un signe moins : $(\cos x)' = -\sin x$ .

Corrigé

C'est exact : contrairement à la dérivée de $\sin x$ , celle de $\cos x$ comporte un signe négatif devant $\sin x$ .

Exercice 3

Quelle est la dérivée de $g(x) = \cos(3x)$ ?

Corrigé

Avec $a=3$ et $b=0$ , on applique $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ , ce qui donne $g'(x) = -3\sin(3x)$ .

Exercice 4

La dérivée de $h(x) = \sin(2x-1)$ est $h'(x) = 2\cos(2x-1)$ .

Corrigé

Avec $a=2$ , $b=-1$ , on a $(\sin(2x-1))' = 2\cos(2x-1)$ , donc l'affirmation est vraie.

Exercice 5

Soit $f(x) = 2\sin(x) - \cos(2x+\pi)$ définie sur $\mathbb{R}$ . Calculer $f'(x)$ , puis déterminer la valeur exacte de $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Corrigé

On applique deux fois la formule de dérivation des fonctions composées trigonométriques, puis on substitue la valeur demandée en simplifiant les angles à l'aide de la périodicité.

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