Étude de fonctions trigonométriques

Rappels : périodicité et parité

Les fonctions sinus et cosinus sont $2\pi$-périodiques : pour tout réel $x$,

Cela signifie qu'il suffit d'étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[0\,;\,2\pi[$, pour connaître leur comportement sur $\mathbb{R}$ entier.

On rappelle également la parité :
- $\sin$ est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$ ;
- $\cos$ est paire : $\cos(-x) = \cos x$.

## Méthode pour étudier les variations d'une fonction trigonométrique

Pour étudier les variations d'une fonction trigonométrique $f$ sur un intervalle donné, on procède toujours de la même façon :

1. Calculer $f'(x)$ à l'aide des formules de dérivation.
2. Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs qui annulent la dérivée.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle d'étude (souvent à l'aide du cercle trigonométrique ou d'une factorisation).
4. Dresser le tableau de variations de $f$.

## Exemple détaillé : étude de $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$ sur $[0\,;\,2\pi]$

On considère $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, que l'on étudie sur $[0\,;\,2\pi]$.

Étape 1 — Calcul de la dérivée.

Étape 2 — Résolution de $f'(x) = 0$.

On résout $\cos(x) - \sin(x) = 0$, soit $\cos(x) = \sin(x)$.

Sur $[0\,;\,2\pi]$, cette égalité a lieu lorsque $x = \dfrac{\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$ (les deux points du cercle trigonométrique où l'abscisse et l'ordonnée sont égales).

Étape 3 — Signe de $f'(x)$.

On peut écrire $f'(x) = \cos(x) - \sin(x) = \sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ (factorisation classique). Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ :
- sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right[$, on a $f'(x) > 0$ ;
- sur $\left]\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{5\pi}{4}\right[$, on a $f'(x) < 0$ ;
- sur $\left]\dfrac{5\pi}{4}\,;\,2\pi\right]$, on a $f'(x) > 0$.

Étape 4 — Tableau de variations.

| $x$ | $0$ | | $\dfrac{\pi}{4}$ | | $\dfrac{5\pi}{4}$ | | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $f(x)$ | $1$ | $\nearrow$ | $\sqrt{2}$ | $\searrow$ | $-\sqrt{2}$ | $\nearrow$ | $1$ |

On obtient ainsi un maximum local de valeur $\sqrt{2}$ en $x=\dfrac{\pi}{4}$, et un minimum local de valeur $-\sqrt{2}$ en $x=\dfrac{5\pi}{4}$, ce qui est cohérent avec la forme générale $f(x) = \sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Cette méthode — dériver, annuler la dérivée, étudier son signe, dresser le tableau — s'applique à toute fonction trigonométrique, y compris lorsque sinus et cosinus se mélangent à d'autres termes (comme $x+\sin(x)$).