La moyenne pondérée

Introduction

En 6ème, tu as calculé une moyenne simple : on additionne toutes les valeurs et on divise par leur nombre. Mais parfois, certaines valeurs « comptent plus » que d'autres : c'est le cas des notes affectées d'un coefficient, ou des effectifs dans un tableau statistique. On a alors besoin de la moyenne pondérée.

Rappel : la moyenne simple

\text{Moyenne simple} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}

Cette formule ne convient que si toutes les valeurs ont la même importance.

La moyenne pondérée

Quand chaque valeur $x_i$ est associée à un poids (ou coefficient, ou effectif) $p_i$ , la moyenne pondérée se calcule ainsi :

\text{Moyenne pondérée} = \dfrac{x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n}{p_1 + p_2 + \dots + p_n}

📌 Méthode — Calculer une moyenne pondérée

1. Multiplier chaque valeur par son poids (coefficient ou effectif).

2. Additionner tous ces produits : c'est le numérateur.

3. Additionner tous les poids : c'est le dénominateur.

4. Diviser le numérateur par le dénominateur.

⚠️ Attention : le dénominateur est la somme des poids (coefficients ou effectifs), jamais le nombre de valeurs différentes si elles ont des poids différents !

Pourquoi une moyenne pondérée ?

Si on calculait une simple moyenne sans tenir compte des coefficients, une note avec un petit coefficient compterait autant qu'une note avec un gros coefficient — ce qui ne reflèterait pas correctement l'importance relative de chaque épreuve ou de chaque groupe de données.

Exemples

✅ Exemple simple — Notes avec coefficients

Un élève a obtenu $12$ en devoir (coefficient $1$ ) et $16$ en contrôle (coefficient $2$ ).

\text{Moyenne} = \dfrac{12 \times 1 + 16 \times 2}{1 + 2} = \dfrac{12 + 32}{3} = \dfrac{44}{3} \approx 14{,}7

📘 Exemple intermédiaire — Moyenne d'un tableau d'effectifs

Un tableau donne les notes obtenues par une classe : note $10$ (effectif $5$ ), note $14$ (effectif $12$ ), note $18$ (effectif $3$ ).

\text{Moyenne} = \dfrac{10 \times 5 + 14 \times 12 + 18 \times 3}{5 + 12 + 3} = \dfrac{50 + 168 + 54}{20} = \dfrac{272}{20} = 13{,}6

🔴 Exemple avancé — Trois notes, trois coefficients différents

Un élève a $8$ en devoir (coeff $1$ ), $13$ en contrôle (coeff $3$ ) et $17$ à l'oral (coeff $2$ ).

\text{Moyenne} = \dfrac{8 \times 1 + 13 \times 3 + 17 \times 2}{1 + 3 + 2} = \dfrac{8 + 39 + 34}{6} = \dfrac{81}{6} = 13{,}5

Remarque : cette moyenne ( $13{,}5$ ) est plus proche de $13$ (la note de plus gros coefficient) que la moyenne simple des trois notes ( $\dfrac{8+13+17}{3} = 12{,}67$ ) ne l'aurait laissé penser — le coefficient le plus fort « tire » la moyenne vers lui.

À retenir

- La moyenne pondérée tient compte de l'importance (coefficient ou effectif) de chaque valeur.
- Formule : $\dfrac{\text{somme des (valeur} \times \text{poids)}}{\text{somme des poids}}$ .
- Le dénominateur est la somme des poids, pas le nombre de valeurs distinctes.
- Plus le coefficient d'une valeur est grand, plus celle-ci influence fortement la moyenne.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans une moyenne pondérée, le dénominateur correspond à :

Corrigé

Le dénominateur d'une moyenne pondérée est toujours la somme des poids (coefficients ou effectifs), pas simplement le nombre de valeurs distinctes.

Exercice 2

Si toutes les valeurs ont le même coefficient, la moyenne pondérée donne le même résultat que la moyenne simple.

Corrigé

Vrai. Quand tous les poids sont égaux, la moyenne pondérée se simplifie exactement en la moyenne simple (chaque valeur compte autant que les autres).

Exercice 3

Un élève a $14$ en devoir (coefficient $2$ ) et $10$ en contrôle (coefficient $3$ ). Quelle est sa moyenne pondérée ?

Corrigé

$\text{Moyenne} = \dfrac{14 \times 2 + 10 \times 3}{2+3} = \dfrac{28+30}{5} = \dfrac{58}{5} = 11{,}6$ .

Exercice 4

Une classe de $24$ élèves a obtenu les notes suivantes à un contrôle : note $8$ (effectif $4$ ), note $12$ (effectif $10$ ), note $16$ (effectif $10$ ). Calcule la moyenne pondérée de la classe.

Corrigé

On multiplie chaque note par son effectif (son poids), on additionne, puis on divise par l'effectif total (somme des poids).

Exercice 5

Un élève veut obtenir une moyenne pondérée d'au moins $12$ avec deux notes : un devoir de coefficient $1$ où il a eu $9$ , et un contrôle de coefficient $2$ . Quelle note minimale doit-il obtenir au contrôle pour atteindre cette moyenne ?

Corrigé

On pose l'inéquation à partir de la formule de la moyenne pondérée, puis on isole progressivement la note inconnue $x$ en multipliant par 3 puis en résolvant l'inégalité.

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