Résoudre une inéquation

Inéquations du premier degré

Une inéquation compare deux expressions à l'aide de $<$ , $>$ , $\leqslant$ ou $\geqslant$ . Résoudre une inéquation, c'est trouver l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ qui vérifient l'inégalité.

Règles de résolution

On résout une inéquation comme une équation, à une exception près :

Règle essentielle : quand on multiplie ou on divise les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change (s'inverse).

Exemple : Résoudre $-2x + 3 > 7$

-2x > 7-3

-2x > 4

On divise par $-2$ (négatif) : le sens change.

x < -2

Représenter la solution sur une droite graduée

L'ensemble des solutions $x < -2$ se représente par une demi-droite, avec un crochet ouvert (ou un rond vide) en $-2$ car $-2$ n'est pas inclus.

Pour $x \leqslant 5$ , on utilise un crochet fermé (ou un rond plein) en $5$ car $5$ est inclus dans les solutions.

Notation par intervalle

- $x < -2$ se note $x \in\ ]-\infty\ ;\ -2[$
- $x \leqslant 5$ se note $x \in\ ]-\infty\ ;\ 5]$
- $x \geqslant -1$ se note $x \in [-1\ ;\ +\infty[$

Exercices de la leçon

Exercice 1

Résous l'inéquation $3x - 5 \leqslant 7$ .

Corrigé

$3x \leqslant 12 \implies x \leqslant 4$ (on divise par $3$ , positif, le sens ne change pas).

Exercice 2

Quand on multiplie les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, le sens de l'inégalité :

Corrigé

C'est la règle fondamentale des inéquations : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Exercice 3

L'inéquation $x \geqslant 3$ se représente sur une droite graduée par un crochet ouvert en $3$ .

Corrigé

Puisque $3$ est une solution de $x \geqslant 3$ (l'inégalité est large), on représente cela par un crochet fermé (ou un point plein) en $3$ .

Exercice 4

Résous $-4x + 1 < 9$ .

Corrigé

$-4x < 8$ . On divise par $-4$ (négatif), le sens s'inverse : $x > -2$ .

Exercice 5

Résous l'inéquation $5(x-1) \geqslant 3x + 7$ et écris la solution sous forme d'intervalle.

Corrigé

On développe, on regroupe les termes, puis on divise par le coefficient de $x$ en faisant attention au signe de ce coefficient.

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