Système de deux équations à deux inconnues

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est un ensemble de deux équations qui doivent être vérifiées simultanément. On le note avec une accolade :

\begin{cases} ax + by = c \\ a'x+b'y = c' \end{cases}

Résoudre ce système, c'est trouver le (ou les) couple(s) $(x\ ;\ y)$ qui vérifient les deux équations à la fois.

Méthode par substitution

On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans la seconde.

Exemple : $\begin{cases} y = 2x+1 \\ 3x+y=11 \end{cases}$

On remplace $y$ par $2x+1$ dans la deuxième équation :

3x + (2x+1) = 11 \implies 5x+1=11 \implies 5x=10 \implies x=2

On revient à la première équation : $y = 2\times2+1 = 5$ .

Solution : le couple $(2\ ;\ 5)$ .

Méthode par combinaison linéaire

On multiplie une ou les deux équations pour faire apparaître des coefficients opposés sur une inconnue, puis on additionne.

Exemple : $\begin{cases} 2x+3y=16 \\ 2x-y=4 \end{cases}$

On soustrait la deuxième équation à la première (les termes en $x$ s'annulent) :

(2x+3y) - (2x-y) = 16-4 \implies 4y=12 \implies y=3

On remplace dans la deuxième équation : $2x-3=4 \implies x=3{,}5$ .

Solution : le couple $(3{,}5\ ;\ 3)$ .

Vérification : il est toujours conseillé de vérifier le couple solution dans les deux équations initiales.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ admet en général comme solution :

Corrigé

Un système à deux inconnues admet typiquement un couple $(x\ ;\ y)$ comme solution, qui vérifie les deux équations en même temps.

Exercice 2

Résous le système $\begin{cases} y=x+2 \\ y=3x-4 \end{cases}$ et donne la valeur de $x$ .

Corrigé

Par substitution : $x+2=3x-4 \implies 6=2x \implies x=3$ .

Exercice 3

Dans la méthode par combinaison, on additionne ou soustrait les deux équations pour faire disparaître l'une des deux inconnues.

Corrigé

C'est le principe de la combinaison linéaire : on ajuste les coefficients (par multiplication) pour qu'une inconnue s'élimine lors de l'addition ou de la soustraction des deux équations.

Exercice 4

Résous le système $\begin{cases} x+y=10 \\ x-y=2 \end{cases}$ et donne la valeur de $y$ .

Corrigé

En additionnant les deux équations : $2x=12 \implies x=6$ . Puis $y=10-6=4$ .

Exercice 5

Deux places de cinéma et trois places de théâtre coûtent $58$ €. Trois places de cinéma et une place de théâtre coûtent $52$ €. Détermine le prix d'une place de cinéma et d'une place de théâtre en mettant le problème en système.

Corrigé

On nomme les deux inconnues, on traduit chaque phrase de l'énoncé par une équation, puis on résout le système par substitution en vérifiant le résultat dans les deux équations d'origine.

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