Équations produit-nul

Équation produit-nul

Principe

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul :

A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0

Méthode

Pour résoudre $(x-2)(x+5) = 0$ :

x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 5 = 0

x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -5

L'équation a donc deux solutions : $2$ et $-5$ .

Pourquoi factoriser ?

Cette méthode est très utile pour résoudre des équations du second degré qu'on ne sait pas résoudre directement, en les transformant d'abord en produit grâce à une factorisation.

Exemple : $x^2 - 4 = 0$ se factorise en $(x-2)(x+2) = 0$ , donnant $x = 2$ ou $x = -2$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Résoudre : $(x-3)(x+1) = 0$

Corrigé

$x - 3 = 0$ donne $x=3$ ; $x+1=0$ donne $x=-1$ . Les deux solutions sont $3$ et $-1$ .

Exercice 2

Un produit de deux facteurs est nul si :

Corrigé

C'est la règle du produit-nul : il suffit qu'un seul des deux facteurs soit nul pour que le produit soit nul.

Exercice 3

L'équation $x^2 - 9 = 0$ peut se résoudre en la factorisant en $(x-3)(x+3) = 0$ .

Corrigé

$x^2 - 9$ est une différence de carrés : $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$ . C'est une factorisation valide.

Exercice 4

Résoudre : $x^2 - 16 = 0$

Corrigé

$x^2-16 = (x-4)(x+4) = 0$ , donc $x = 4$ ou $x = -4$ .

Exercice 5

Résoudre l'équation $3x(x-5) = 0$ et explique pourquoi il y a deux solutions distinctes.

Corrigé

On annule chaque facteur séparément ; un produit de deux facteurs différents donne en général deux solutions distinctes.

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