Résoudre une inéquation

Inéquations du premier degré

Une inéquation compare deux expressions à l'aide de $<$ , $>$ , $\leq$ ou $\geq$ .

Règles de transformation

- On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés sans changer le sens de l'inégalité.
- On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans changer le sens.
- Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité.

Exemple

Résoudre $-2x + 5 \leq 11$ :

-2x \leq 11 - 5 = 6

On divise par $-2$ (négatif) : on inverse le sens !

x \geq -3

Représenter la solution

La solution $x \geq -3$ se représente par une demi-droite sur l'axe des nombres, partant de $-3$ (inclus) vers la droite.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Résoudre : $x + 3 < 8$

Corrigé

On soustrait $3$ des deux côtés (le sens ne change pas) : $x < 8 - 3 = 5$ .

Exercice 2

Quand doit-on inverser le sens d'une inégalité ?

Corrigé

Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Exercice 3

L'inéquation $-3x > 9$ a pour solution $x > -3$ .

Corrigé

En divisant par $-3$ (négatif), on inverse le sens : $-3x > 9 \implies x < -3$ , pas $x > -3$ .

Exercice 4

Résoudre : $-4x + 1 \geq 13$

Corrigé

$-4x \geq 13 - 1 = 12$ . On divise par $-4$ (négatif), donc on inverse : $x \leq \frac{12}{-4} = -3$ .

Exercice 5

Résoudre l'inéquation $5(x-1) \leq 3x + 7$ et représente la solution sur une droite numérique (décris-la).

Corrigé

On développe, regroupe les termes, puis on divise par un nombre positif (le sens de l'inégalité ne change pas).

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