Systèmes de deux équations à deux inconnues

Introduction

Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux égalités reliant deux nombres inconnus, en général notés $x$ et $y$. Résoudre le système, c'est trouver le couple $(x\,;\,y)$ qui vérifie les deux équations à la fois.

Il existe deux méthodes principales pour résoudre un tel système : la substitution et la combinaison (ou élimination).

Méthode 1 — La substitution

📌 Méthode

1. Isoler une inconnue dans une des deux équations (celle où c'est le plus simple).

2. Remplacer cette inconnue par son expression dans l'autre équation.

3. Résoudre l'équation à une seule inconnue obtenue.

4. Calculer la deuxième inconnue, puis vérifier dans les deux équations de départ.

Avec le système $\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$ :

De la première équation, on isole $y$ : $y = 10 - x$.

On remplace dans la deuxième équation : $2x - (10-x) = 5 \implies 2x - 10 + x = 5 \implies 3x = 15 \implies x = 5$.

On revient à $y = 10 - x = 10 - 5 = 5$.

Méthode 2 — La combinaison (élimination)

📌 Méthode

1. Si nécessaire, multiplier une ou les deux équations par un nombre pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés ou égaux.

2. Additionner (s'ils sont opposés) ou soustraire (s'ils sont égaux) les deux équations membre à membre pour éliminer une inconnue.

3. Résoudre l'équation restante, puis remplacer dans une équation de départ pour trouver la deuxième inconnue.

Avec le même système $\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$, les coefficients de $y$ sont déjà opposés ($+1$ et $-1$) : on additionne les deux équations membre à membre.

D'où $3x = 15 \implies x = 5$, puis $5 + y = 10 \implies y = 5$.

Les deux méthodes donnent bien le même résultat : $\boxed{(x\,;\,y) = (5\,;\,5)}$.

Vérifier la solution

Une solution de système doit toujours être vérifiée dans les deux équations d'origine : $5+5=10$ ✓ et $2\times 5 - 5 = 5$ ✓.

Exemples

✅ Exemple simple — Substitution directe

Résoudre $\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 12 \end{cases}$.

$y$ est déjà isolé : on substitue dans la deuxième équation : $x + 2x = 12 \implies 3x = 12 \implies x = 4$.

Donc $y = 2 \times 4 = 8$. Solution : $(4\,;\,8)$. Vérification : $4+8=12$ ✓.

📘 Exemple intermédiaire — Combinaison avec un coefficient à ajuster

Résoudre $\begin{cases} 3x + y = 11 \\ x + y = 5 \end{cases}$.

On soustrait la deuxième équation à la première (les coefficients de $y$ sont déjà égaux) :

On remplace dans $x+y=5$ : $3 + y = 5 \implies y = 2$. Solution : $(3\,;\,2)$. Vérification : $3\times 3+2=11$ ✓ et $3+2=5$ ✓.

🔴 Exemple avancé — Combinaison nécessitant une multiplication

Résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ x - y = 2 \end{cases}$.

On multiplie la deuxième équation par $3$ pour obtenir des coefficients de $y$ opposés : $3x - 3y = 6$.

On additionne membre à membre avec la première équation :

On remplace dans $x - y = 2$ : $4{,}4 - y = 2 \implies y = 2{,}4$. Solution : $(4{,}4\,;\,2{,}4)$.

Vérification : $2\times 4{,}4 + 3\times 2{,}4 = 8{,}8+7{,}2=16$ ✓ et $4{,}4-2{,}4=2$ ✓.

À retenir

- Résoudre un système, c'est trouver le couple $(x\,;\,y)$ qui vérifie simultanément les deux équations.
- Substitution : isoler une inconnue dans une équation, puis remplacer dans l'autre.
- Combinaison : ajuster si besoin les coefficients par multiplication, puis additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue.
- Il faut toujours vérifier la solution trouvée dans les deux équations de départ.