Orthogonalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt

Orthogonalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt

1. Vecteurs orthogonaux et familles orthogonales

Dans un espace euclidien $E$, deux vecteurs $x,y$ sont orthogonaux si $\langle x,y\rangle = 0$, ce que l'on note $x \perp y$. Une famille $(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs est dite orthogonale si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et tous non nuls :

Elle est dite orthonormée (ou orthonormale) si, de plus, chaque vecteur est de norme $1$ :

Théorème : toute famille orthogonale (de vecteurs non nuls) est libre.

Démonstration : soit $(e_1,\dots,e_p)$ orthogonale et $\lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_p e_p = 0$. En prenant le produit scalaire avec $e_i$ :

Comme $e_i \neq 0$, on a $\|e_i\|^2 \neq 0$, donc $\lambda_i = 0$. Ceci pour tout $i$, donc la famille est libre. $\square$

2. Théorème de Pythagore généralisé

Théorème : si $x_1,\dots,x_p$ sont deux à deux orthogonaux, alors

Démonstration : en développant par bilinéarité,

Les termes croisés $\langle x_k,x_l\rangle$ pour $k \neq l$ sont tous nuls par orthogonalité, donc seule reste la somme des $\|x_k\|^2$. $\square$

Pour $p=2$, c'est le théorème de Pythagore usuel : $\|x+y\|^2 = \|x\|^2+\|y\|^2$ lorsque $x \perp y$.

3. Coordonnées dans une base orthonormée

Propriété clé : si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormée de $E$ (de dimension $n$), alors pour tout $x \in E$ :

C'est-à-dire que la $i$-ème coordonnée de $x$ dans cette base est simplement $\langle x,e_i\rangle$ — il n'y a pas besoin de résoudre un système linéaire, contrairement à une base quelconque. Cette simplicité est la principale motivation pour construire des bases orthonormées.

4. Le procédé de Gram-Schmidt : principe

Théorème (Gram-Schmidt) : soit $(v_1,\dots,v_p)$ une famille libre de $E$. Il existe une famille orthogonale $(u_1,\dots,u_p)$ telle que, pour tout $k \in \{1,\dots,p\}$, $\mathrm{vect}(u_1,\dots,u_k) = \mathrm{vect}(v_1,\dots,v_k)$. En normalisant chaque $u_k$, on obtient une famille orthonormée $(e_1,\dots,e_p)$ engendrant les mêmes sous-espaces emboîtés.

Construction (algorithme) : on pose $u_1 = v_1$, puis pour $k = 2,\dots,p$ :

c'est-à-dire que l'on soustrait à $v_k$ sa projection orthogonale sur $\mathrm{vect}(u_1,\dots,u_{k-1})$ (notion détaillée dans la leçon suivante). Le vecteur $u_k$ ainsi obtenu est orthogonal à $u_1,\dots,u_{k-1}$, et non nul puisque $(v_1,\dots,v_k)$ est libre. On normalise ensuite : $e_k = u_k / \|u_k\|$.

5. Exemple résolu complet

Orthonormalisons par Gram-Schmidt la base $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(1,0,1)$, $v_3=(0,1,1)$ de $\mathbb{R}^3$ (produit scalaire canonique).

Étape 1 : $u_1 = v_1 = (1,1,0)$, avec $\|u_1\|^2 = 1+1+0=2$.

Étape 2 : on calcule $\langle v_2,u_1\rangle = 1\times1+0\times1+1\times0 = 1$. Le coefficient de projection est $\dfrac{\langle v_2,u_1\rangle}{\|u_1\|^2} = \dfrac12$. Donc :

On vérifie $\langle u_2,u_1\rangle = \frac12\times1 + (-\frac12)\times1 + 1\times0 = \frac12-\frac12=0$ : orthogonal, comme attendu. On a $\|u_2\|^2 = \frac14+\frac14+1=\frac32$.

Étape 3 : on calcule $\langle v_3,u_1\rangle = 0\times1+1\times1+1\times0=1$ et $\langle v_3,u_2\rangle = 0\times\frac12+1\times(-\frac12)+1\times1 = -\frac12+1=\frac12$. Les coefficients sont $\dfrac{1}{2}$ (pour $u_1$, $\|u_1\|^2=2$) et $\dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac13$ (pour $u_2$). Donc :

On vérifie $\langle u_3,u_1\rangle = -\frac23+\frac23+0=0$ et $\langle u_3,u_2\rangle = -\frac13+(-\frac13)+\frac23 = 0$ : les trois vecteurs sont bien deux à deux orthogonaux. On a $\|u_3\|^2 = \frac49+\frac49+\frac49=\frac{12}{9}=\frac43$.

Normalisation : la base orthonormée obtenue est $e_1 = \dfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)$, $e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{3/2}}\left(\frac12,-\frac12,1\right)$, $e_3 = \dfrac{1}{\sqrt{4/3}}\left(-\frac23,\frac23,\frac23\right)$.

6. Existence de bases orthonormées

Corollaire : tout espace euclidien de dimension finie $n \geq 1$ possède une base orthonormée. En effet, il suffit de partir d'une base quelconque (qui existe toujours en dimension finie) et de lui appliquer le procédé de Gram-Schmidt.

Théorème de la base orthonormée incomplète : toute famille orthonormée d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormée de l'espace tout entier.

7. Sous-espaces orthogonaux et orthogonal d'un sous-espace

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. L'orthogonal de $F$, noté $F^\perp$, est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de $F$ :

$F^\perp$ est lui-même un sous-espace vectoriel de $E$ (intersection de noyaux des formes linéaires $y \mapsto \langle x,y\rangle$... plus directement : combinaison linéaire de vecteurs orthogonaux à $F$ reste orthogonale à $F$ par bilinéarité).

Théorème (supplémentaire orthogonal) : si $E$ est de dimension finie $n$ et $F$ un sous-espace de dimension $p$, alors :

Démonstration (existence de la somme directe) : $F \cap F^\perp = \{0\}$ car si $x \in F \cap F^\perp$, alors $x$ est orthogonal à lui-même : $\langle x,x\rangle=0$, donc $x=0$ par séparation. Pour montrer que $F+F^\perp=E$, on complète une base orthonormée $(e_1,\dots,e_p)$ de $F$ (obtenue par Gram-Schmidt) en une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ ; alors $\mathrm{vect}(e_{p+1},\dots,e_n) \subset F^\perp$ et tout $x \in E$ se décompose selon cette base, donnant $x = x_F + x_{F^\perp}$.

On en déduit également $(F^\perp)^\perp = F$.

8. Synthèse

Le procédé de Gram-Schmidt transforme algorithmiquement n'importe quelle base en une base orthonormée, sans changer les sous-espaces engendrés à chaque étape. Cette construction garantit l'existence de bases orthonormées en dimension finie et permet de décomposer tout espace euclidien en somme directe orthogonale $E = F \oplus F^\perp$. Ces résultats sont la clé de la leçon suivante, consacrée aux projections orthogonales.