Produit scalaire, normes et inégalités

Produit scalaire, normes et inégalités

1. Définition axiomatique du produit scalaire

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ est un produit scalaire sur $E$ si elle vérifie :

1. Bilinéarité : pour tout $x, y, z \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$,

2. Symétrie : $\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle$ pour tout $x,y \in E$.
3. Positivité : $\langle x,x \rangle \geq 0$ pour tout $x \in E$.
4. Définie (séparation) : $\langle x,x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0$.

Un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien.

Exemple fondamental — produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^n$ : pour $x=(x_1,\dots,x_n)$ et $y=(y_1,\dots,y_n)$,

On vérifie immédiatement la bilinéarité (linéarité de la somme), la symétrie ($x_iy_i = y_ix_i$), et $\langle x,x \rangle = \sum x_i^2 \geq 0$, avec égalité si et seulement si chaque $x_i = 0$, donc $x = 0$.

2. Autres exemples de produits scalaires sur $\mathbb{R}^n$

Le produit scalaire canonique n'est pas le seul possible. Sur $\mathbb{R}^2$, on peut définir, pour $u=(u_1,u_2)$ et $v=(v_1,v_2)$ :

Cette forme correspond à $\langle u,v\rangle_M = {}^tU\,M\,V$ où $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ est symétrique. Elle est bilinéaire et symétrique par construction. Pour la positivité, on calcule $\langle u,u\rangle_M = 2u_1^2 + 2u_1u_2 + u_2^2 = u_1^2 + (u_1+u_2)^2 \geq 0$, somme de deux carrés, nulle seulement si $u_1=0$ et $u_1+u_2=0$, donc $u=(0,0)$. C'est bien un produit scalaire, distinct du produit canonique.

Exemple numérique : pour $u=(1,2)$, $\langle u,u\rangle_M = 2(1)^2+2(1)(2)+(2)^2 = 2+4+4=10$, alors que le produit canonique donnerait $\langle u,u\rangle = 1+4=5$. Les deux produits scalaires sur le même espace vectoriel donnent des géométries différentes (longueurs et angles distincts).

Critère général : une matrice symétrique $M$ définit un produit scalaire $\langle u,v\rangle_M = {}^tU MV$ si et seulement si $M$ est symétrique définie positive, c'est-à-dire ${}^tX M X > 0$ pour tout $X \neq 0$.

3. Norme associée à un produit scalaire

Si $\langle \cdot,\cdot \rangle$ est un produit scalaire sur $E$, on définit la norme euclidienne associée par :

Cette quantité est bien définie (positivité du produit scalaire) et vérifie $\|x\| = 0 \iff x = 0$ (séparation). Pour le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^n$ :

Propriété d'homogénéité : $\|\lambda x\| = |\lambda| \, \|x\|$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, car $\langle \lambda x, \lambda x\rangle = \lambda^2 \langle x,x\rangle$.

Identité remarquable (développement du carré) : pour tous $x,y \in E$,

C'est cette identité, combinée à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, qui permettra d'établir l'inégalité triangulaire.

4. Inégalité de Cauchy-Schwarz

Théorème (Cauchy-Schwarz) : pour tous $x,y \in E$,

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires (liés).

Démonstration : si $y = 0$, l'inégalité est triviale ($0 \leq 0$). Supposons $y \neq 0$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$, posons $\varphi(t) = \|x - ty\|^2 \geq 0$ par positivité du produit scalaire. En développant :

C'est un trinôme du second degré en $t$, de coefficient dominant $\|y\|^2 > 0$, qui reste $\geq 0$ pour tout $t$. Son discriminant doit donc être $\leq 0$ :

En prenant la racine carrée (positive), on obtient $|\langle x,y\rangle| \leq \|x\|\,\|y\|$. $\square$

Cas d'égalité : l'égalité $\Delta = 0$ correspond à une racine double $t_0$ telle que $\varphi(t_0) = 0$, c'est-à-dire $\|x - t_0 y\| = 0$, donc $x = t_0 y$ : $x$ et $y$ sont colinéaires. Réciproquement, si $x = \lambda y$, alors $\langle x,y\rangle = \lambda \|y\|^2$ et $\|x\|\|y\| = |\lambda|\|y\|^2$, donc $|\langle x,y\rangle| = \|x\|\|y\|$.

Exemple numérique : soit $u=(1,2,-1)$ et $v=(3,0,4)$ dans $\mathbb{R}^3$ canonique. On calcule $\langle u,v\rangle = 1\times3 + 2\times0 + (-1)\times4 = 3+0-4=-1$. Par ailleurs $\|u\|^2 = 1+4+1=6$ donc $\|u\|=\sqrt6$, et $\|v\|^2=9+0+16=25$ donc $\|v\|=5$. On vérifie $|\langle u,v\rangle| = 1 \leq \sqrt6 \times 5 = 5\sqrt6 \approx 12{,}25$ : l'inégalité de Cauchy-Schwarz est bien satisfaite (de façon large, $u$ et $v$ n'étant pas colinéaires).

5. Inégalité triangulaire (inégalité de Minkowski)

Théorème : pour tous $x,y \in E$, $\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|$.

Démonstration : en utilisant l'identité du paragraphe 3 puis Cauchy-Schwarz :

Comme $\|x+y\| \geq 0$ et $\|x\|+\|y\| \geq 0$, on peut prendre la racine carrée de chaque membre pour conclure $\|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|$. $\square$

Vérification numérique avec l'exemple précédent : $u+v=(4,2,3)$, donc $\|u+v\|^2 = 16+4+9=29$, soit $\|u+v\|=\sqrt{29}\approx 5{,}385$. Par ailleurs $\|u\|+\|v\| = \sqrt6+5 \approx 2{,}449+5=7{,}449$. On a bien $5{,}385 \leq 7{,}449$.

6. Identité du parallélogramme et angle entre deux vecteurs

Identité du parallélogramme : pour tous $x,y \in E$,

Elle découle directement du développement des deux carrés et de l'annulation des termes croisés $\pm 2\langle x,y\rangle$.

Grâce à Cauchy-Schwarz, pour $x,y$ non nuls, le rapport $\dfrac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\,\|y\|}$ appartient à $[-1,1]$, ce qui permet de définir l'angle géométrique $\theta \in [0,\pi]$ entre $x$ et $y$ par :

Deux vecteurs non nuls sont dits orthogonaux lorsque $\langle x,y\rangle = 0$, c'est-à-dire $\theta = \dfrac{\pi}{2}$.

7. Distance euclidienne

La norme induit une distance sur $E$ par $d(x,y) = \|x-y\|$. Elle vérifie les axiomes attendus : $d(x,y) \geq 0$ avec égalité si et seulement si $x=y$ (séparation de la norme), $d(x,y)=d(y,x)$ (homogénéité avec $\lambda=-1$), et l'inégalité triangulaire $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$, qui se déduit de l'inégalité triangulaire sur la norme appliquée à $(x-y)+(y-z)=x-z$.

8. Synthèse

Un produit scalaire sur $E$ permet de définir simultanément une norme (longueur), une distance, et un angle. Cauchy-Schwarz est l'inégalité pivot : elle borne le produit scalaire par le produit des normes, garantit que $\cos\theta$ est bien défini dans $[-1,1]$, et permet de démontrer l'inégalité triangulaire. Ces outils sont la base de toute la géométrie euclidienne abstraite développée dans les deux leçons suivantes (orthogonalité, projections).