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1ère · Étude de fonctions

Étude des fonctions inverse et racine carrée

Rappel des dérivées usuelles

Fonction

f

Dérivée

f'

Ensemble de validité

|---|---|---|

$f(x)=\dfrac{1}{x}$	$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;\,0[\cup]0\,;\,+\infty[$
$f(x)=\sqrt{x}$	$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$

Étude de la fonction inverse

Pour $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , on a $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ . Or $x^2>0$ pour tout $x\neq0$ , donc :

f'(x) < 0 \quad \text{pour tout } x \neq 0

Tableau de variations :

x

-\infty

0

+\infty

|---|---|---|---|---|---|

$f'(x)$		$-$		$-$
$f(x)$		$\searrow$		$\searrow$

Attention : $f$ est décroissante séparément sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ , mais elle n'est pas décroissante sur la réunion des deux intervalles : par exemple $f(-1)=-1 < f(1)=1$ , alors que $-1<1$ .

Étude de la fonction racine carrée

Pour $f(x)=\sqrt{x}$ , définie sur $[0\,;\,+\infty[$ , on a $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , défini seulement pour $x>0$ . Comme $2\sqrt{x}>0$ pour $x>0$ :

f'(x) > 0 \quad \text{pour tout } x > 0

Tableau de variations :

x

0

+\infty

|---|---|---|

$f'(x)$		$+$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$

Remarque : $f$ n'est pas dérivable en $0$ (la formule $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ n'est pas définie en $x=0$ ) : la courbe admet une tangente verticale à l'origine.

Exemple : étudier une fonction combinant les deux

Étudions $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .

f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2-1}{x^2}

Sur $]0\,;\,+\infty[$ , $x^2>0$ , donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Comme $x>0$ , le facteur $(x+1)$ est toujours positif, donc le signe de $f'(x)$ dépend de $(x-1)$ :

- pour $0<x<1$ : $f'(x)<0$ , $f$ décroît ;
- pour $x>1$ : $f'(x)>0$ , $f$ croît.

$f$ admet donc un minimum en $x=1$ : $f(1) = 1+\dfrac{1}{1} = 2$ .

\boxed{f \text{ admet un minimum } f(1)=2 \text{ sur } ]0\,;\,+\infty[}

À retenir

- La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ séparément (jamais sur la réunion).
- La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , mais non dérivable en $0$ .
- Pour étudier une fonction combinant plusieurs fonctions usuelles, on calcule sa dérivée, on la met sous une forme dont le signe est lisible (souvent en réduisant au même dénominateur), puis on applique la méthode habituelle.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Sur quel(s) intervalle(s) la fonction inverse $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est-elle décroissante ?

Corrigé

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ sur chacun des deux intervalles, mais $f$ n'est décroissante que sur chacun pris séparément, pas sur leur réunion.

Exercice 2

La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ est dérivable en $x=0$ .

Corrigé

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ n'est pas définie en $x=0$ (division par $\sqrt{0}=0$ ) : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ , sa courbe y admet une tangente verticale.

Exercice 3

Quel est le signe de $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?

Corrigé

$2\sqrt{x}>0$ pour tout $x>0$ , donc $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ est toujours strictement positif sur $]0\,;\,+\infty[$ : $f$ y est strictement croissante.

Exercice 4

Soit $g(x) = \dfrac{1}{x}+2x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ . Que vaut $g'(x)$ ?

Corrigé

On dérive terme à terme : la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$ , et celle de $2x$ est $2$ .

Exercice 5

Étudie les variations de $g(x) = \dfrac{4}{x}+x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et détermine son minimum.

Corrigé

On dérive, on réduit au même dénominateur pour lire facilement le signe, on factorise le numérateur, puis on conclut sur les variations en tenant compte du domaine $x>0$ .

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